Dopočítávání, posloupnosti, dělitelnost (2)

Tak, mám tady dva příklady, které vypadaly hrozně dlouze a hrozně složitě, ale přitom u nich je zadání: zkuste je vypočítat z hlavy, jednoduše. Zkuste to vymyslet. Opravdu tyhle příklady jdou vypočítat, za chvíli si to ukážeme, takže vlastně nemusíte nic moc počítat. Stačí trošku uplatnit nějakou logickou úvahu. No, ale zkuste si to. Pozastavte si teď. Pozor, tři, dva, jedna, teď. Tak, takže jste si to pustili znovu, asi už to máte spočítané, doufám. A teď, buď to můžete řešit takzvaně tou hrubou silou, že to fakt začnete počítat. Třináct plus třináct je dvacet šest, plus čtyřikrát třináct, to ani nevím, to je nějakých padesát dva, dvacet šest plus padesát dva, uf, plus třináct, plus dvacet šest, plus třináct, že ano? A dostanu nějaké číslo, pokud neudělám chybu. Hele, tato cesta… a tohle bývá u přijímaček často. Jestli si teď myslíte, že tohle vlastně nebudete nikdy potřebovat, tak tento typ příkladů bývá u přijímaček často. Je to příklad, který vlastně vypadá hrozně složitě a dá se počítat dlouho a složitě, anebo jde počítat úplně jednoduše. Jak jde tento příklad jedenáct počítat jednoduše? Já se na ten příklad musím podívat a musím si uvědomit, z čeho se skládá. A já se teď vás zeptám, odpovězte si doma, nahlas. Z jakého čísla se skládá příklad jedenáct? No správně, pokud jste řekli číslo třináct, tak je to správně. Ten příklad se skládá pouze z čísla třináct. To, že tady je čtyřikrát třináct, vlastně jenom znamená, že tady je zase plus třináct, plus třináct, plus třináct, plus třináct. Jenom je to zkráceně napsáno, ale pořád to znamená čtyři třináctky. Tady jsou dvě třináctky. Jinými slovy, mně stačí spočítat, kolik tam těch třináctek celkem je. Tak zkuste. Máte? Prima. Hele, jedna, dva, plus čtyři je šest, plus jedna je sedm, plus dvě je devět a jedna je deset. No jasně, hele, desetkrát třináct, protože mám deset třináctek, hned z hlavy zvládnu, že výsledek je sto třicet. Tak, teď jste se poučili. Zkuste přijít na příklad dvanáct. On je hodně podobný. Není úplně stejný, to by bylo jednoduché, ale ten princip je hodně podobný. Tak ještě vám dám jednu šanci. Zkuste pozastavit. Zase. My se na ten příklad podíváme, z čeho on se skládá. No tak tady mám číslo sto padesát krát pět krát dvě stě padesát. Tady mám jednou sto padesát. Tady mám dvě stě padesát krát čtyři krát sto padesát. Hele, sto padesát, sto padesát, dvě stě padesát, dvě stě padesát. Vždycky dál. Tady mám sto padesát, dvě stě padesát zase, sto padesát, dvě stě padesát a tady mám devět. Tady je mínus. Kolikrát já tady mám to sto padesát krát dvě stě padesát? Tady to mám pětkrát, plus, tady to mám čtyřikrát. Takže teď si každý nahlas řekne, kolikrát vlastně tady a tady máte ten součin sto padesát krát dvě stě padesát. Kolikrát? Tady to máte pětkrát, tady čtyřikrát, takže to máte, správně, devětkrát. Takže tady to máte devětkrát. A tady to odečítáte kolikrát? Taky devětkrát. Co vám zbyde, řekněte si nahlas, když vezmu tohle plus tohle mínus tohle? No jasně, nula vám zbyde. Takže vy vlastně tohle a tohle a tohle můžete škrtnout z toho příkladu, protože tohle plus tohle mínus tohle je nula. A zbylo mi sto padesát. Takže bez počítání. A je to důležité, tohle si pamatovat. Téměř vždycky Cermat dělá ty testy chytře. Ty testy jsou hezké, chytré. A oni, když tam dají dlouhý příklad, tak nechtějí nutně, abyste půl hodiny něco násobili. To nikdo nechce. Oni chtějí vidět, jestli nad tím umíte přemýšlet, jestli si v tom umíte najít tu souvislost a tu logiku a ušetřit si tu práci, udělat to chytře. A proto se tam takové příklady objevují. Takže téměř vždycky, když uvidíte dlouhý příklad, tak než začnete něco zuřivě počítat, tak se prosím podívejte tímhle způsobem dovnitř a zkuste najít, jak by ten příklad šel zjednodušit. Tak jo. Tak, příklady třináct a čtrnáct si uděláme. Už jste to asi vyzkoušeli a chcete si to zkontrolovat, tak pojďme na to. Pojďme si ukázat, jak by zase mohl vypadat takový hezký, rychlý, srozumitelný zápis. Protože se připravujeme na přijímačky, tak vlastně všechno to, co vám říkám, je trošku i k tomu testu, abyste to zvládli co nejlépe. Je potřeba počítat rychle, ale zase ne moc rychle, abyste nedělali chyby. A to správné tempo vám pomůže vytvořit i ten zápis. Takže, máme Tomáše a Jirku. Já jsem vám říkal, že se s Tomášem ještě setkáme. Takže já si udělám rychlý zápis. T a J by stačilo. Tomáš a Jirka. Co o nich vím? Tomáš uběhne za stejnou dobu dvakrát víc okruhů než Jirka. Jirkovi trvá oběhnutí jednoho okruhu šest minut dvacet sekund. Tak u Jirky, abych to nespletl, si napíšu šest minut dvacet sekund. A teď chci zapsat ten čas. Takže jeden okruh u Jirky je šest minut dvacet sekund. A jak dlouho to dělá Tomáš? Když uběhne za stejnou dobu dvakrát více okruhů, je, teď si každý doma odpoví nahlas, je Tomáš rychlejší než Jirka nebo pomalejší? Všichni nahlas. Ano, je rychlejší. Protože když tento borec uběhne jeden okruh, tak Tomáš už má dva, takže je rychlejší. To znamená, ten jeden okruh on musí uběhnout za půlku času. Vydělíme to dvěma. Vydělíme ty minuty i ty sekundy. To znamená, vidíme, že to jsou tři minuty deset sekund. Další možnost by byla, že byste si to celé převedli na sekundy a potom dělili to číslo sekundami. Je to jedno. Takže teď máme ten rychlý zápis. A teď teda, áčko, určit, kolik sekund trvá Tomášovi uběhnout tři okruhy. No tak já si řeknu, hele, jeden okruh jsou tři minuty deset sekund, to znamená tři okruhy bude co teda? To bude devět minut třicet sekund. Ale my dáváme pozor, protože musíme odpovědět v sekundách. Takže to převedeme. Šestkrát devět je kolik? Páťáci, neslyším vás, co? Padesát čtyři. Hurá. Je potřeba nespat doma a nekoukat na to pasivně. Je potřeba si to pozastavovat, počítat přede mnou rychleji než já. Tak, to znamená šestkrát devět je padesát čtyři, takže je to pět set čtyřicet. Pět set čtyřicet plus třicet, to znamená pět set sedmdesát sekund. Doufám, že jste napsali. A béčko. Jirka běžel devatenáct minut. Kolik okruhů uběhl? Takže my máme devatenáct minut. A my potřebujeme zjistit, kolikrát se tento čas vejde do devatenácti minut. Zase je lehká cesta a těžká cesta. Těžká cesta by mohla být, že bych si devatenáct minut vynásobil šedesáti. Dostal bych číslo v sekundách. Tohle bych si převedl na sekundy. A pak bych celkový čas těch devatenácti minut v sekundách vydělil časem jednoho okruhu, také v sekundách. Anebo si prostě řeknu, hele, kolikrát se zhruba šestka vejde do devatenácti? Zatím si to zaokrouhlím. No tak dvakrát určitě, to je dvanáct, ale možná, že se tam vejde i třikrát, ne? Třikrát šest je osmnáct. Takže mám osmnáct minut a třikrát dvacet je šedesát sekund. Šedesát sekund je jedna minuta. Souhlas? Takže vidíme, že se tam ten čas vejde přesně třikrát. Výsledek jsou tři okruhy. Takže jsme si zase trošku potrénovali počítání s časem. Příklad čtrnáct je na samostatný výpočet. Dám vám jenom takový lehký návod. Máte dvě stě čtyřicet metrů plus šedesát metrů plus sto osmdesát metrů drátu. Dráty navinuté na těchto cívkách byly beze zbytku rozstříhány na celkem šestnáct kusů. Tak vy, když si spočítáte, kolik jste toho drátu měli celkem, a vydělíte tu celkovou délku šestnácti, tak dostanete délku jednoho kusu. Otázka je, na kolik kusů byl rozstříhán drát na cívce, kde bylo drátu nejvíce. Nejvíce bylo tady. Vy budete vědět délku jednoho kusu, a když délku těch dvou set čtyřiceti metrů vydělíte délkou jednoho kusu, dostanete počet kusů. Takže taková nápověda, ale myslím, že tu čtrnáctku většinou zvládáte hravě sami. Tak jo. Tak, máme tady další příklad. Už jsme trénovali podobný minule, kde jsme měli, myslím, rozdíl. Většinou to sčítání vám vyhovuje lépe. Takže určitě si to teď pozastavte, zkuste spočítat. A co jste udělali? Řekli jste si, hele, dvojka plus něco má být devět. Co bude tady to něco? Nahlas. Ano, správně. Sedmička. Sedm plus dva je devět. Do dalšího řádu se mi nic nepřenáší. Teď, pět plus něco je jedna. To musí být jedenáct. Takže pět plus šest je jedenáct. Napíšu jedničku a jednička se mi přenesla do dalšího řádu. Takže mám jedna plus tři plus něco je pět. To znamená čtyři plus jedna je pět. Takže tady přijde jednička. Teď tady mám osm plus něco je jedna. To musí být zase jedenáct. Osm plus tři je jedenáct. Jedničku si držím. Jedna plus něco plus něco je šestnáct. Takže jedna plus devět je deset, plus šest je šestnáct. Takže tak. Věřím, že jste to určitě zvládli. Tak, páťáci, pozor, teď přichází důležitý příklad. Ne, že by ty předtím nebyly důležité, ale tento příklad šestnáct je jeden z těch, které vás už posunou na úroveň gymnazistů. To je něco, co už třeba ve škole jste ještě úplně neměli, ale co v těch testech bývá. Určitě si to zkuste sami, trošku se s tím poprat. A přinuďte se, páťáci, udělat si ten zápis stejně jako já, abyste si osvojili postup, který se vám snažím ukazovat. Budete s ním řešit spoustu slovních úloh. Jdeme na to. Výsledkem součtu čtyř sčítanců... Minule jsme si říkali, co je to sčítanec. Je to číslo, které když sečtu s jiným sčítancem, dostanu součet. Tak já si udělám zápis. Mám první sčítanec, druhý sčítanec, třetí sčítanec a čtvrtý sčítanec. Mohl jsem napsat jedna S, dvě S, tři S, čtyři S, to je úplně jedno. Jsou to čtyři rozdílné věci. A teď vy o nich znáte nějaké vztahy. Víme, že výsledkem součtu, když to sečtu, tak celkem je to čtyři sta šedesát. A teď si tam zkuste zakreslit ty vztahy. První sčítanec je o čtyři větší než druhý. To znamená, když já bych k tomu druhému přičetl čtyřku, tak dostanu ten první. Souhlas? Druhý sčítanec je o čtyři větší než třetí. Tak já zase, kdybych k tomuto třetímu přičetl čtyřku, tak dostanu ten druhý. A třetí sčítanec je stejný jako ten čtvrtý. To znamená, tyhle dva jsou stejné. Já ale teď neznám ani jeden. Máme určit součet prvního a čtvrtého. A já neznám ani jeden. Protože se vše odvíjí od čtvrtého, tak si napíšu, že ten čtvrtý je otazník. A teď, protože ten třetí je stejný, tak si tady taky napíšu otazník. Takže mám čtvrtý sčítanec je otazník, třetí sčítanec je otazník. Jak si zapíšu ten druhý? Bude to ten třetí, tedy otazník, plus čtyři. Správně. A teď chci ten první. To je vlastně ten druhý zase plus čtyři. Tak já vezmu ten druhý, který je otazník plus čtyři, a ještě k němu tu čtyřku přičtu. Teď jste si vlastně správně vyjádřili všechny neznámé v příkladu. A vy víte, že součet toho, toho, toho a toho je čtyři sta šedesát. Já to teď napíšu ještě jednou. Udělám tady dělící čáru. Musí platit, že otazník plus čtyři plus čtyři (to je první), plus otazník plus čtyři (to je druhý), plus otazník (to je třetí), plus otazník (to je čtvrtý), se rovná čtyři sta šedesát. Páťáci, já vám gratuluju. Právě jsme si napsali naši první rovnici. My si ještě o rovnicích budeme hodně povídat. Rovnice je takový příklad, který má neznámou, má rovná se a má výsledek. Hledáte, co musí přijít za ty otazníčky, aby se levá strana rovnala té pravé. A my to teď ještě nebudeme řešit tak, jako možná někteří umíte. My si řekneme logicky, z čeho se vlastně skládá těch čtyři sta šedesát. Skládá se z otazníků, které já neznám. Kolik je těch otazníků? Spočítejte. Správně. Raz, dva, tři, čtyři. Takže čtyřikrát otazník. A co ještě mám v těch čtyřech stech šedesáti? No, raz, dva, tři. Ty tři čtyřky. Třikrát čtyři je dvanáct. Jinými slovy, vidíte, že čtyři sta šedesát se skládá ze čtyř otazníků a dvanáctky. A teď si řeknete, já bych chtěl vědět, čemu se rovnají ty čtyři otazníky. Něco plus dvanáct je čtyři sta šedesát. Kolik je to něco? No, čtyři sta čtyřicet osm. Protože čtyři sta šedesát mínus dvanáct je čtyři sta čtyřicet osm. Takže ty čtyři otazníky jsou čtyři sta čtyřicet osm. A teď si řeknete, čtyřikrát něco je čtyři sta čtyřicet osm. Co je to něco? Jak to spočítám? No, čtyři sta čtyřicet osm děleno čtyřmi. To je sto dvanáct. To znamená, jeden ten otazník je sto dvanáct. Měli jsme určit součet prvního a čtvrtého. Čtvrtý je sto dvanáct. První je sto dvanáct plus čtyři plus čtyři, tedy sto dvacet. Potřebujeme udělat sto dvacet plus sto dvanáct, to znamená dvě stě třicet dva. To je výsledek, co jste hledali. Ale to hlavní je, že důležitý je zápis. Zapište si věci pod sebe, šipkami udělejte vztahy, odražte se od neznámé, ze které všechno vychází, a zapište si rovnici. Hele, důležitý příklad, mělo by vám to být úplně jasné. Pokud je, gratuluju. Tak, páťáci, je potřeba se nadechnout a nebát se toho. Jsme u příkladu sedmnáct, který je nejtěžší příklad této lekce. On není těžký na počítání, ale je těžký na tu logickou úvahu. Je hrozně důležitý. Kdo to spočítá dobře, gratuluju. Kdo ne, vůbec nevadí. Zkuste si to pak pustit víckrát. Já se vám to pokusím ukázat graficky. Hele, my máme nějaký pytel. My nevíme, kolik v tom pytli je jablek. Ale víme, že když tam přidáme šest jablek a čtyři hrušky, tak počet jablek se v pytli zvýší na trojnásobek a počet hrušek se zvýší o polovinu. Co s tím? Pojďme na to. Teď budeme řešit jablka. My nevíme, kolik jich bylo na začátku. Začátek je to, že v pytli je nějaký počet jablek a my ho neznáme. Já znázorním počet jablek nějakým obdélníčkem. Tento obdélníček představuje nějaký počet jablek. Já nevím, kolik to je. Ale co se potom stalo? Já jsem k tomuto počtu přidal šest jablek. A co se stalo, když jsem přidal šest jablek? Počet jablek v pytli se zvýšil na trojnásobek. Tohle byl ten počáteční počet jablek. A ten se zvýšil na trojnásobek. Kolik obdélníčků si mám nakreslit teď? Tři, správně. Protože tohle je ten počáteční počet, a já když jsem přidal šest jablek, tak se tenhle počet zvýšil na trojnásobek. Takže teď mám jednou, dvakrát a třikrát ten původní počet. Vidím, že přidáním šestky se z tohoto jednoho obdélníčku staly tři. Možná už někdo vidíte, kolik jablek bylo na začátku. Tento obdélníček je ten počáteční počet jablek. A teď přibyly ještě dva. Kde se vzaly ty dva? No to je těch šest jablek. Souhlasíte? Tohle je těch šest. To znamená, když tyhle dva obdélníčky dohromady představují šest jablek, a ony jsou stejné, kolik je v jednom? Už to asi vidíte. Tady jsou tři, tady jsou taky tři. A protože jsou stejné, tak i tady jsou tři. To znamená, já vím, že teď mám v pytli devět jablek. Otázka byla, kolik jablek bylo v pytli, než jsme tam přidali šest jablek? Byly tam tři. Áčko, správná odpověď jsou tři jablka. Vidíte, že jsme skoro nic nepočítali. Já když nevím, co bylo na začátku, tak schopnost, že si to znázorním nějakým obdélníčkem a pak si řeknu, že tohle tam bylo třikrát, je hrozně užitečná. Vidím, že ty dva navíc musely být těch šest jablek. V tu chvíli jeden z nich jsou tři. Hele, béčko, hrušky. Teď by bylo dobré, kdybyste si to zkusili sami tímhle postupem. Zkuste si to nakreslit. Jak jsme si říkali, my si uděláme ten pytel na začátku. Zase nevíme, kolik hrušek tam bylo, ale víme, že jsme tam přidali čtyři. A co se stalo? Počet hrušek se zvýšil o polovinu. Jak si teď znázorním ten počet hrušek? Určitě tam zůstal ten počáteční počet. To je tento. A teď se zvýšil ještě o polovinu. Takže já teď vlastně tady vezmu polovinu toho původního. A je jasné, že tato polovina, co přibyla, jsou ty čtyři přidané hrušky. A když polovina je čtyři, tak celý ten původní obdélníček musel být kolik? Osm. A otázka je jaká? Kolik hrušek je v pytli nyní po přidání? To znamená osm plus čtyři. V béčku je to dvanáct hrušek. Určitě jste to mohli vyřešit jenom čísly, ale ty obdélníčky mi přijdou hrozně užitečné. Ta schopnost, že si něco vyjádřím obdélníčkem a pak se na to dívám, vám hrozně usnadní představivost. Obzvláště vám, kteří to třeba úplně hned nevidíte. Já věřím, že spoustě z vás ty obdélníčky pomáhají. Takže to byl příklad sedmnáct, hrozně důležitý. Tak, páťáci, máme tady tři příklady na závěr, které jsou zase takové rychlé, opakovací. Určitě byste je měli zvládnout sami. Zkuste si to pozastavit a spočítat. A my si jenom řekneme ty hlavní kroky. Hele, osmnáctka. Maminka má osmdesát jedna korun. A ona může koupit balení jogurtů, anebo jednotlivé jogurty. Maminka samozřejmě chce koupit co nejvíce za ty peníze. Nechce kupovat ty dražší jednotlivé, když nemusí, a chce koupit ta balení po šesti. Kolik stojí jedno balení? No, když jeden jogurt stojí pět, krát šest, takže to je třicet. Vy si řeknete, kolik celých balení se tam vejde, kolik zaplatí za celá balení, pak mamince zbydou ještě nějaké peníze a za ty koupí jednotlivé jogurty. A tím získáte, kolik celkem jogurtů si může koupit. Zkontrolujte si ve výsledcích. Devatenáctka. Číslo, které je třetinou součinu. To je jednoduché. Součin jakých čísel? Pět a devět. Vy si zjistíte, co je to součin, spočítáte výsledek. A když máte udělat z toho výsledku třetinu, tak ten výsledek vydělíte třemi. Příklad dvacet. Je tady jedna věc. Nesmíte na tom letišti nikoho nechat. A hlavně musíte taky počítat s tím, že taxíky jsou pětimístné. Ale do taxíku se nevejde pět cestujících, protože jedno místo je pro řidiče. Takže vy musíte v tomto příkladu počítat s tím, že máte čtyři místa v autě. To je důležité. A potom v té další verzi máte dokonce jen tři místa. Zkuste spočítat a zkontrolovat si. Myslím, že tohle hravě zvládnete. Gratuluju. Mám velkou radost. Dokončili jsme další lekci. Byly tam příklady lehčí, příklady trošku těžší. Hele, když se na to dívám, co jsme dneska probrali, tak určitě bych zdůraznil ten zápis. Strukturovaně, pod sebe, hezky, čitelně, ale svižně a rychle. Ukázali jsme si, že i obrázek může být forma zápisu. Vzpomeňte si na to divadlo. Co bych zdůraznil, je ten příklad "myslím si číslo" a ta kolečka, jak se dopočítávám. Hrozně důležité. Potom ty příklady, co vypadaly strašně složitě. Pamatujte si, když ten příklad je dlouhý, asi to bude chyták. To je to, co chci, abyste si odnesli. Vidím v testu dlouhý příklad, nezačnu ho hned silou počítat. Chvíli se na něj dívám a přemýšlím, jestli nepřijdu na to, jaký chyták v tom bude. Ukázali jsme si přepočítávání času a vzdálenosti. Hele, příklad šestnáct, nemůžu zdůraznit víc. Ty sčítance, ten zápis, otazníčky. A vyšla nám z toho taková rovnice. Důležitý příklad. Pak byla ta jablka a hrušky, zase graficky jsme si znázornili nějaký neznámý začátek a co z něj vzniklo. Ale páťáci, mám z vás radost, bylo to dobré, doufám, že vás to trochu bavilo a že se těšíte zase na příští lekci. Mějte se fajn a uvidíme se příště. Ahoj. A rodiče, jestli se díváte, na shledanou.