Dopočítávání, posloupnosti, dělitelnost (1)

Nazdar, páťáci a rodiče, pokud se díváte. Máme tady příklad jedna. V divadle je dvacet pět řad a v každé řadě je dvacet šest sedadel. Ty slovní úlohy trošku už vyžadují od vás nějakou představivost. Pojďme si to divadlo, abyste to uměli hezky spočítat, představit. Já si představím to divadlo jako nějaký obdélník, kde vlastně já mám takhle ty řady. Tady bude řada jedna, takhle budu mít řadu dvě a tak dále. Nebudu kreslit dvacet pět řad, ale představím si, že tady bude ta poslední, že tady někde bude jeviště a tady vlastně sedí ti lidé. Koukáme takhle tímto směrem na někoho, kdo tady v tom divadle něco předvádí. Takže tady je řada dvacet pět. A teďka v každé té řadě je dvacet šest sedadel. Tak já zase nebudu kreslit, ale vy si umíte představit, že vlastně v celé té řadě je dvacet šest sedadel. Tohle je vlastně zápis formou obrázku. To je u přijímaček úplně v pořádku. Vy byste si každopádně nějaký zápis udělat měli. Jestli si to napíšete, anebo nakreslíte, já si myslím, že to kreslení je lepší, protože mi to hezky říká, co vlastně v té úloze je. Určitě si napíšu, že jeden lístek rovná se padesát korun. To bych si tam určitě napsal. A teďka co teda? Otázka je, kolik vybere celkem za vstupné. Aha, ale ono to divadlo není úplně zaplněno. Co my víme? V každé sudé řadě je pět sedadel neobsazených. Vidíte? Teď už řešíme sudé a liché řady. Takže si napíšeme sudé řady a napíšeme si liché řady. A váš první úkol je, zkuste si říct, kolik máte těch sudých a kolik lichých řad. Takže aspoň tohle si každý zkuste teď zjistit. Pozastavte si to a zkuste si v klidu zjistit, když máte celkem dvacet pět řad, kolik bude sudých a kolik bude lichých. Takže asi už jste to zjistili. Vy víte, že lichá čísla jsou ta, která nejdou beze zbytku dělit dvojkou, a sudá jsou ta, která dělit dvojkou beze zbytku jdou. Jednička je lichá řada, dvacet pět je lichá řada, dvojka je sudá řada. Máme celkem dvacet pět řad, takže jste se měli dostat k tomu, že vy máte dvanáct sudých řad a třináct lichých řad. Pokud by vám to nešlo počítáním, tak si řeknete: když jednička je lichá a dvacet pět je taky lichá, a ono se to střídá a já začínám lichou, tak jich musím mít víc než těch sudých. Proto jich je třináct a sudých je dvanáct. Ale určitě není hanba si v klidu rychle napsat pod sebe jedna až dvacet pět a spočítat si rychle ty sudé a liché, jenom abyste to věděli dobře. Je to úplně jedno. Takže já mám sudých řad dvanáct, lichých řad třináct. A teď teda sedadla. Já vím, že v těch sudých řadách je pět sedadel neobsazených. Takže celkem je tam dvacet šest mínus pět, což je dvacet jedna sedadel v těch sudých řadách. A co víme ještě, čtyři neobsazená sedadla jsou v těch lichých řadách. To znamená, dvacet šest mínus čtyři je dvacet dva. Takže vy teď, když vynásobíte počet těch řad krát počet sedadel v těch řadách, tak jste dostali dvě stě padesát dva obsazených sedadel v sudých řadách a dostali jste dvě stě osmdesát šest v těch lichých. Takže už víme, kolik je celkem obsazených sedadel. Sečteme to. Dvě a šest je osm. Pět a osm je třináct, napíšu trojku, jedničku si držím. Jedna plus dvě plus dvě je pět. Takže máme celkem pět set třicet osm obsazených sedadel. A teď vlastně celkové vstupné spočítáme jako padesát korun za sedadlo krát pět set třicet osm sedadel a dostaneme výsledek. Vy u přijímaček nemůžete používat kalkulačku, to doufám víte. Co vy uděláte? No vy si napíšete pět set třicet osm a buď krát padesát, anebo vám stačí násobit pěti a pak k výsledku přidáte nulu. Je to na vás. Takže já udělám krát pět a řeknu si, pětkrát osm je čtyřicet. Napíšu nulu, čtyřku si držím. Třikrát pět je patnáct a čtyři je devatenáct. Jedničku si držím. Pětkrát pět je dvacet pět a jedna je dvacet šest. Ale to je pět set třicet osm krát pět. A pokud já chci krát padesát, tak ještě to vynásobíme deseti a dostanu dvacet šest tisíc devět set. A máte správný výsledek příkladu jedna. Já doufám, že to bylo jasné. To hlavní, co jsme trénovali v tomhle příkladu, je nějaký hezký zápis, kterým si vlastně pochopíte, jak to divadlo vypadá, a že teda nemáte stejný počet sudých a lichých řad. To bylo hlavní. Tak jo. Tak, příklad dva. Hele, zkuste si zase nějakým způsobem rozmyslet, spočítat. Až budete mít, tak si to zkontrolujte se mnou. Tak, a my jdeme na to. V zoo rozdělovali zvířátkům ořechy. Prima, ano, zvířátka dostala ořechy. A teď teda polovinu ořechů dostala zvířátka v pavilonu jedna a polovinu zvířátka v pavilonu dva. V pavilonu dva rozdělili ořechy stejným dílem, takže každé ze tří zvířat, které tam bydlí, dostalo dvacet pět ořechů. Kolik bylo celkem ořechů? Může se to zdát na začátku trošku zmateně, ale jak na to, pokud jste nevěděli? Je to stejné jako v předchozím příkladu. Vy si to musíte prakticky představit. První, co je to pavilon? To je domeček pro zvířata. No tak já si tady nakreslím takhle zjednodušeně domeček pro zvířata a budu mu říkat pavilon jedna. A taky si nakreslím druhý domeček a tomu budu říkat pavilon dva. Tak a teď prima, co se stalo? Polovinu ořechů dostala zvířátka v pavilonu jedna. No tak tady mám jednu polovinu ořechů, vidíte, už jsme matematici, zapíšeme si to zlomkem, a druhou polovinu ořechů dostala zvířátka v pavilonu dva. Když dostali polovinu, tak v tom druhém museli dostat taky polovinu. Kdyby tady byla třeba čtvrtina, tak tady by byly tři čtvrtiny. Protože vždycky ten celek těch ořechů se musí rozdělovat do těch dvou pavilonů. A teďka v pavilonu dva, teď jsme tady, rozdělili ořechy stejným dílem, protože tam bydlí tři zvířátka. Tuhle tu polovinu ořechů, oni rozdělili nějakým třem zvířátkům. Bylo nějaké zvířátko jedna, zvířátko dvě, zvířátko tři. A každé z těch tří zvířátek dostalo dvacet pět ořechů. Takže tady bylo dvacet pět, tady bylo dvacet pět a tady to zvířátko dostalo dvacet pět. Takže vy už okamžitě víte asi, kolik celkem ořechů oni vlastně dali těm zvířátkům v pavilonu dva. No, sedmdesát pět, že ano, sedmdesát pět oříšků. A protože těch sedmdesát pět je půlka, tak tady ta jedna polovina musí být taky sedmdesát pět oříšků. A pokud otázka byla, kolik vlastně dostala zvířátka v obou pavilonech dohromady, tak je jasné, že museli dostat sedmdesát pět a sedmdesát pět. Takže vy si někde stranou spočítáte, kolik je sedmdesát pět plus sedmdesát pět a dostali jste se k tomu, že zvířátka dostala sto padesát oříšků. Hele, jednoduchá úloha. Trošku zní naschvál zamotaně, tak to u těch přijímaček bývá. Ale vy, když si ji budete umět hezky představit, tak vlastně zjistíte, že ta úloha je strašně jednoduchá. Tak jo, tak prima. Tak, páťáci, máme tady smršť takových rozehřívacích, jednoduchých příkladů, které utužují vaši logickou úvahu a schopnost rychle a správně počítat, protože to je to, co potřebujete k přijímačkám. Je tady příklad tři, čtyři, pět a šest. Žádný z nich není nějak hrozně těžký. Já bych navrhoval, zkuste si teď to video pozastavit a vlastně prosvištět si všechny čtyři příklady a zkusit si, jak rychle a jak správně je zvládnete. No, tak si to pozastavte a do toho. Tak, takže jste si to pustili a už to doufám máte. Hele, příklad tři. Doplňte řadu čísel. My už jsme v minulé lekci si o tomto povídali. Máme nějakou posloupnost nebo řadu čísel, které jdou za sebou, a ony jdou za sebou s nějakou logikou. A vy musíte najít ten klíč. A tady zase čísla rostou. Takže na začátku máme ty nejjednodušší posloupnosti. Musíte přijít na to, o co rostou. Zkuste si říct, o kolik je tohle číslo větší než tohle? O tři, takže plus tři. O kolik je tohle číslo větší než tohle? O čtyři. O kolik je tohle číslo větší než tohle? O pět. Aha, hele, tady už je vidět, jak to roste. Ověřím si tady: dvacet je o šest větší. No tak co bude tady? No jasně, dvacet sedm, že ano, plus sedm. Teďka tady bude co? Plus osm, to znamená třicet pět, a plus devět, to znamená, hned jste tady napsali čtyřicet čtyři. Tak, to bylo jednoduché, určitě. Hele, čtyřka, příklady, kde se doplňují závorky. Do příkladu doplň závorky. Je důležité, abyste pečlivě četli. Spousta z vás čte rychle a nečte to úplně správně. Tady ten výsledek má být co nejmenší a zároveň musí platit, že výsledek musí být větší než nula. Co to znamená? Nula to být nemůže, protože musí být větší. Nemůže být záporný. Může to být jednička, dvojka, trojka a tak dále. Hele, jak na ty závorky? Ty příklady vyžadují trošku zkoušení. První krok, asi vždycky, bych udělal to, že bych si to spočítal tak, jak to je, bez závorek. Vy víte, násobení má přednost. Dvakrát dva je čtyři. Čtyři mínus dva jsou dva. Dva plus dva jsou čtyři. Takže výsledek bez závorky je čtyři. A teď musíme chápat, kam má smysl a kam nemá smysl dávat závorku. Určitě nemá smysl tu závorku dát sem, protože ona nezmění princip počítání. To násobení má přednost i tak. Kam bych ji mohl dát jinak? Mohl bych ji dát třeba takhle. Co by se stalo? Měl bych dvakrát dva jsou čtyři. Spočítal bych taky tu závorku jako první. Takže by bylo čtyři mínus čtyři. Výsledek by byl nula. No, to by bylo jako hezky malé, ale to nejde, protože výsledek má být větší než nula. Takže takhle to nepůjde. A kam ještě bych mohl dát tu závorku? Co bych mohl udělat? Já bych mohl tu závorku dát takhle sem. A co by se mi změnilo? No, já bych zjistil, že v závorce je hodnota dva mínus dva, což je kolik? Nula. Kolik je dvakrát nula? No nula. Nula plus dva je dva. Takže jsem dosáhl toho, že můj výsledek je menší než čtyři a zároveň je větší než nula. Nic menšího z toho dostat nemůžeme. Takže jsme našli nejmenší možný výsledek, který je ale zároveň větší než nula. Často, když vám to zadám v kurzu, tak zapomenete na tu podmínku a odevzdáváte mi výsledek nula, což není správně. A jsme u příkladu pět. Příklad pět si vyřešíte samostatně. Já jsem si tady splnil tím, že jsem nakreslil přátelského zajíčka a přátelskou slepici. Zase se taky usmívá, má ráda matematiku. A vy si spočítáte ten příklad samostatně. Celý trik je v tom, že si uvědomíte, kolik má které zvířátko nohou. Víte, kolik tam je králíčků, kolik má každý z nich nohou, to znamená víte, kolik nohou přesně patří králíčkům. Pak si dopočítáte počet nohou těch slepiček a víte, kolik nohou má slepička. Z toho si spočítáte počet slepiček. Takže to si myslím, že je jednoduché. To je taková přípravka na příklady, kde budeme potom mít třeba králíčky a ovečky a budeme mít smíchané počty nohou. Ale teď je to jednoduché, udělejte si to samostatně. Tak, příklad šest. Příklad na počítání s časem. Musíte vědět, že minuta má šedesát vteřin, hodina má šedesát minut, den má dvacet čtyři hodin. A protože se chystáte na gymnázium, měli byste rozumět i tomu, že na naší Zemi, na Zemi jako kouli, není ten čas všude stejný, že máme takzvaná časová pásma. A je potřeba umět pracovat s těmi rozdíly času. Já jsem tady zjednodušeně vyznačil, že tady někde bude Praha a tady někde je to město Dillí v Indii. A my víme, že když v Dillí je půlnoc, takže když tady je dvacet čtyři nula nula, tak vlastně v Praze v tu chvíli je dvacet třicet. Z toho byste měli určit, jaký je časový posun mezi těmi městy. No, je kolik? Když je tady půlnoc a ve stejnou chvíli v Praze mi hodinky ukazují dvacet třicet, tak rozdíl je tři a půl hodiny. A teďka ta otázka zní, kolik hodin je v Dillí, když je v Praze osm nula nula. Takže teď je potřeba vědět, že v Dillí je vlastně vždycky víc. To znamená, pokud já v Praze mám osm nula nula, tak já ty tři hodiny a třicet minut budu přičítat, nebo odečítat? Přičítat. To znamená, vy jste přičetli tři hodiny a třicet minut, a to znamená, že jste se dostali na jedenáct hodin třicet minut. A máte spočítáno. Takže vidíte, jednoduché čtyři rychlé příklady. Tady, hele, těch slepiček, kdo jste si to spočítal, ať nemusíte koukat do výsledků, těch slepiček mělo vyjít osm. Tak, to vám doufám vyšlo. Tak prima, zvládli jsme tři, čtyři, pět, šest. Dobrá práce. Máme tady další sadu příkladů. Sedm, osm, devět, deset, které si teď prosvištíme. Jako vždycky navrhuji, zkuste si to nejdřív sami. Až to budete mít, nebo nebudete vědět, pusťte si mě a dáme se do toho společně. Tak jo, hele, tak já začnu. Tomáš. Jestli si všimnete, to je moje oblíbená postava v příkladech. Příklady s časem a nějakou vzdáleností jsou u přijímaček typické. Musíme umět počítat s tím, že někdo ujde nějakou vzdálenost za nějakou dobu, a přepočítat to na jinou vzdálenost a jinou dobu. Takže, hele, uděláme si nějaký zápis. Zase, to nejhorší je, když tam teď začínáte psát nějaké násobení, dělení nějakých čísel a neuděláte si zápis. Takže: čtyři hodiny, dvanáct kilometrů. Já si napíšu, čtyři hodiny rovná se dvanáct kilometrů. On za tento čas ujde tuto vzdálenost. A otázka je, jakou vzdálenost ujde za dvacet minut. Takže vidíte, že si napíšu dvacet minut a k tomu mám spočítat v kilometrech příslušnou vzdálenost. Tohle by mohl být jednoduchý zápis. Hele, pravidlo jednoduché, které funguje skoro vždycky. Vždycky si to snažte přepočítat na nějakou jednotku. Tady si to přepočteme na jednotku času. Co, když teď mám čtyři hodiny, bude jednotka času? No jedna hodina. Hele, všichni bychom měli vědět, že když za čtyři hodiny ujdu dvanáct kilometrů, tak za jednu hodinu, což je čtyřikrát kratší čas, ujdu čtyřikrát méně. Vydělil jsem čas čtyřmi, to znamená, já ty kilometry taky vydělím čtyřmi. Dvanáct děleno čtyřmi jsou tři kilometry. Takže teď já už vím, že za jednu hodinu ten Tomáš ujde tři kilometry. Ale já potřebuji vědět, kolik ujde za dvacet minut. K tomu je důležité, abyste měli představu, že hodina má kolik minut? No, šedesát. A vy máte k dispozici dvacet. Vy byste měli být schopni vidět, že těch dvacet je jaká část hodiny. Těch dvacet minut se do šedesátky vejde třikrát. To znamená, dvacet minut je jedna třetina hodiny. Je dobré se naučit, natrénujte s rodiči, jaká část hodiny je deset minut, patnáct minut, dvacet minut, třicet minut a čtyřicet pět minut. Pro tuto chvíli to stačí. Takže natrénujte, že tohle je šestina, čtvrtina, třetina, polovina, tři čtvrtě. Udělejte si v tom jasno v hlavě. Takže my vlastně víme, že počítáme třetinu z tohoto. Takže když to dál vydělíme třemi, dostaneme těch dvacet minut, a tady zase to vydělíme třemi, protože je to takzvaná přímá úměra. Čím kratší čas mám, tím kratší vzdálenost já ujdu. Takže mám jeden kilometr. Byla ta správná odpověď. Tak, příklad osm. Zaokrouhlování. Hele, to umíte většinou hezky, takže to si uděláte samostatně. Já jen ukážu na jednom příkladu postup. Máme tady číslo šest set padesát čtyři. Máte zaokrouhlit na desítky. Vy si vždycky podtrhněte ten řád, na který to máte zaokrouhlovat. Možná se vám do toho nechce, ale je to užitečné. Podtrhněte si řád, na který máte zaokrouhlit. A potom číslo, které je hned za ním, vám určuje, jestli budete zaokrouhlovat nahoru, nebo dolů. Když to číslo bude od nuly do čtyřky, tak zaokrouhlujete dolů. Když bude od pětky do devítky, tak zaokrouhlujete nahoru. To znamená šest set padesát čtyři. Vidím, že číslo za tím podtržením je čtyři. Zaokrouhluji dolů, píšu šest set padesát. Ukážeme si ještě jedno tady náhodně. Na tisíce mám zaokrouhlovat třeba dvě stě osmdesát sedm tisíc čtyři sta osmdesát sedm. Najdu si jednotky, desítky, stovky, tisíce, podtrhnu. Tady je čtyřka, takže zaokrouhluji zase dolů. Kdyby tady byla pětka, tak už to jde nahoru a bylo by to dvě stě osmdesát osm tisíc. Takže uděláte si samostatně a zkontrolujete. Tak, páťáci, svištím na devítku. Devítka je hrozně důležitá. A já vám zkusím ukázat ten postup. I když jste to počítali jinak než já, tak stejně, rodiče, pokud se díváte, a zdravím vás, přinuťte vaše dítě, anebo páťáci, fakt si to takhle zkuste natrénovat. V těch složitějších úlohách vám tenhle můj postup hrozně pomůže. Myslím si číslo. Je to hrozně důležitá úloha. A teď ten zápis. Hele, vy tady máte nějaké výchozí číslo. Já si ho zakroužkuju. Tohleto číslo já neznám. A teď si zakreslím všechny ty operace. Vynásobím ho samou sebou. My to teď v páté třídě neumíme jinak zapsat, tak napíšu "krát samou sebou" a šipečku. Dostanu nějaké jiné číslo. Potom k němu mám přičíst číslo pět, tak tomuhle takhle přičtu číslo pět a dostanu další číslo. A pak znovu vynásobím samo sebou, tak já napíšu zase "krát samo sebou". A dostanu nějaké číslo, které je osmdesát jedna. Těch operací tady můžete mít spoustu. A my se teď potřebujeme dostat sem na začátek. Jak to budeme dělat? No, my budeme poskakovat od konce a budeme dělat obrácené operace. Takže my teď vlastně potřebujeme z těch osmdesáti jedna jít na tohle číslo. Musíme si říct, jaké číslo vynásobené samo sebou mi dá osmdesát jedna. Ještě jednou, co to je to "samo sebou"? No, třeba dvakrát dva, třikrát tři, pětkrát pět. Takže jinými slovy, co krát co, aby to bylo stejné číslo, je osmdesát jedna? No devětkrát devět, že ano. Takže já tady vlastně vím, že bude devítka. Teďka, měl jsem něco, přičetl jsem pětku a dostal jsem devítku. To znamená, bude tady obrácená operace, mínus pět. Odečtu, mám tady čtyřku. Co krát co samo sebou mi dává čtyřku? No, dvojka. Takže jsme to vyřešili. Hele, jednoduché, ale tyhle kolečka jsou hrozně užitečná pro ten zápis. Tak, co tady máme dál? Desítka. Které jednociferné číslo... Jednociferné, hele, cifra nebo takzvaně číslice. Je potřeba rozumět tomu, že dvanáct je číslo a to číslo se skládá ze dvou číslic. Jednociferná čísla mohou být jaká? No od nuly do devíti. Správně, páťáci. A ten příklad teda je dvacet osm děleno čtyřmi plus pětkrát tři plus něco. A výsledek musí být dělitelný devíti. Jdeme na to. My si ten příklad musíme zjednodušit. Spočítáme vždycky to, co umíme. Víme, že tady to dělení a násobení má přednost před tímhle sčítáním. Takže dvacet osm děleno čtyřmi je sedm, plus pětkrát tři je patnáct, plus něco. To je první zjednodušení. A teď se můžu ještě sečíst tyhle dvě čísla. Sedm plus patnáct je dvacet dva. Takže já teď řeším: dvacet dva plus jednociferné číslo musí být dělitelné devíti. Co může být tady? Mohla by tam být nula, jednička, dvojka, trojka, čtyřka, pětka, šestka, sedmička, osmička, devítka. A teď si jenom řeknu, dvacet dva plus nula je dvacet dva, jde to dělit devíti? Nejde. Dvacet dva plus jedna je dvacet tři, jde to dělit devíti? Nejde. No jaké číslo tam přijde, aby výsledek šel dělit devíti? No, třikrát devět je dvacet sedm. To znamená, tady bude určitě pětka. Souhlas? Když to napíšu sem, bude dvacet dva plus pět je dvacet sedm, a dvacet sedm děleno devíti jsou tři, takže to funguje. Takže do toho testu u přijímaček byste napsali číslo pět. Tak, to je správná odpověď do té desítky. Tak jo, hele, zase jednoduché čtyři příklady, ale trošku jsme si naladili hlavu už na různé typy úloh. Tak jo.