Geometrie, rýsování, útvary (1)

Páťáci, já vás zdravím a dneska držím v ruce co? Trojúhelník. To znamená, že budeme co? Budeme rýsovat. Než se do toho pustíme, vím, že typicky jsou dvě skupiny studentů. Jedna skupina rýsování zbožňuje, hrozně ji to baví a jde jim to úplně samo. A druhá skupina, tu to moc nebaví a moc jim to nejde a většinou z toho máte takový jakoby umatlaný obrázek, který není moc hezký. Je potřeba, pokud jste v té první už, tak je to všechno v pořádku, bude vás to bavit a budete to mít za chvíli. Pokud patříte do té druhé skupiny, že s tím trošku bojujete, tak si zkuste pomaličku poslechnout, co vám říkám, jak to dělám a na těchto příkladech se posunout do první skupiny, kterou to jednak baví a hlavně jim to taky jde a půjde jim to u přijímaček. Takže hlavně k tomu přistupujte pozitivně a to rýsování je fakt zábava. Je to zase něco jiného než to počítání, říká se tomu taky konstrukční geometrie, takže vlastně budeme konstruovat. A ty naše příklady jsou možná trošku jiné než ty, které rýsujete ve škole, jsou připravené podle těch, které vás čekají u přijímaček. U přijímaček většinou bude nějaké výchozí zadání, jako je tohle. Tady vidíte už ty dvě čáry, za chvíli si o nich něco řekneme. To už je to výchozí zadání, do kterého vy budete rýsovat. Ve škole většinou to máte tak, že prostě narýsujte nějaký trojúhelník, narýsujte čtverec, narýsujte obdélník. U těch přijímaček je to většinou, že už něco doplňujete, aby to splnilo nějaké podmínky. A určitě zkuste si to klidně narýsovat dopředu. A potom třeba poproste rodiče, jestli vám to vytisknou ještě jednou a můžete to rýsovat ještě se mnou. Čím víckrát si to zopakujete, tím lépe vám to půjde. To rýsování není taky jenom vlastně o tom vědět jak, ale mít to takzvaně v ruce. To znamená, že umíte pracovat s kružítkem, nerozjíždí se vám to kružítko. Umíte hezky udělat tu kružnici, trefit se do toho středu a tak dále. Všechno si to řekneme. Pojďme si to ukázat na příkladech. Takže, příklad jedna. Vždycky k tomu příkladu dostanete nějaké výchozí zadání. A my tady máme dvě různoběžné přímky. Takže hned si zopakujeme, co je to ta přímka. Ta přímka je čára, která je většinou označená takhle malým písmenem. A i když tady má nějaký začátek a tady vidíte, že už jako není, tak ve skutečnosti my si ji představujeme, že ona jde od nekonečna a pokračuje takhle dál. To samé tahle. Určitě není chyba, když si tu přímku takhle prodloužíte. Pamatujeme si, přímka je vždycky čára od nekonečna do nekonečna. Teďka, co tam máme dál? Různoběžné. Různoběžné jsou přímky, které se vždycky někde protnou. Teď si každý řekne, které přímky se nikdy neprotnou? Správně. Neprotnou se nikdy dvě rovnoběžné přímky. Takže máme různoběžné, rovnoběžné. My tady v tom zadání máme ty dvě různoběžné přímky, jmenují se U a V a bod M. Další, co musíte znát, je bod. Bod je nějaké místo v naší rovině. V CERMATu můžete mít zadání "v rovině je zadáno". To je vlastně jenom to, že je to všechno v jedné rovině, takové jako je ta tabule. Tak a teď přichází už to, co máme z toho vytvořit. Bod M je vrchol trojúhelníku KLM. Takže teďka prakticky jak na to. Já si tady napíšu, že chci sestrojit nějaký trojúhelník KLM. Vidím, že jediný bod, který znám teďka, je ten bod M. Potřebuji najít vrcholy K a L. Strana KM leží na rovnoběžce s přímkou U. Když si představím nějaký trojúhelník KLM, tak strana KM je tahle. A ta je rovnoběžná s U. To znamená, co vy teď můžete udělat? Vy víte, že tady je ten vrchol M a potřebujete sestrojit aspoň základ téhle strany. Doufám, že vás napadlo: co udělám? Sestrojím rovnoběžku. A to mě vede k tomu, že si zrovna ukážeme, zopakujeme, jak sestrojím rovnoběžku. Přiložím trojúhelník dlouhou stranou takhle na tu přímku, ke které chci dělat rovnoběžku. A ke kratší straně přiložím pravítko. A teď vlastně já mohu pojezdem, přitlačím to pravítko, a jedu, jedu, jedu, až dojedu tak, abych hezky protnul tenhle ten bod. Jakmile to takhle mám, tak si udělám rovnoběžku. Nemusíte s tím takhle cvičit jako já. My jsme si tady vytvořili základ téhle strany, protože máme bod M a máme tu rovnoběžku. A víme, že tady někde bude ta strana KM, akorát teďka ještě nevíme, kde bude ten bod K. Pokračujeme. Strana LM leží na kolmici k přímce V. Takže teďka děláme stranu LM. A ta je na kolmici. Co je to kolmice? Dvě přímky jsou kolmé, když mají úhel devadesát stupňů. Takže zase já budu chtít vytvořit kolmici k přímce V tak, aby procházela tím bodem M. Vy máte všichni průhledný trojúhelník, který má uprostřed tu rysku. Vy jednoduše přiložíte tu rysku na tu přímku V a takhle vytvoříte tu kolmici. Tak, teďka, čtu dál. Dále platí, že strana KL leží na přímce V. Takže oba dva vrcholy, K i L, leží na přímce V. Kde budou ty vrcholy? V těch průsečících, že jo? Jasný. Protože KM leží na té rovnoběžce a zároveň KL leží na přímce V. To znamená, vrchol K musí ležet jednak na téhle rovnoběžce a zároveň na téhle přímce V. Jediné místo, kde to může splnit, je tady. To znamená, tady je K. A vrchol L, LM leží na kolmici a zároveň KL leží na V, to znamená, L musí být tady. A vlastně vy jste tady takhle sestrojili ten trojúhelník KLM. Teď něco k obtahování. Vy budete obtahovat propiskou. Vždycky nejdřív rýsujte tužkou. Kdybyste to potřebovali vygumovat, tak vám to půjde. Když si myslíte, že to máte dobře, tak to musíte obtáhnout propiskou. A propiskou neobtahujeme jenom ten výsledný útvar. Ne, propiskou obtahujeme vše, co nebylo natištěno. To znamená, protože je to první příklad, tak si vezmu červený fix a zdůrazním, co by mělo být obtaženo. Celá tahle rovnoběžka, celá. Proč? Protože ten hodnotitel potřebuje vidět, jak jste to celé sestrojili. Takže on potřebuje vidět i ty pomocné čáry. Tady jsem sestrojil kolmici, takže obtáhnu celou tu kolmici. Co dál? Rozhodně obtáhnu i název vrcholu L a název vrcholu K. A mám obtahovat i to, co jsem dělal kružítkem? Ano, máte. Všechno, co nebylo natištěno, i kružítko se obtahuje. Obtahujte propiskou buď modrou, nebo černou. Tak jo, zvládli jsme příklad jedna. Příklad dva je jednoduchý, všichni ho určitě zvládnete sami. Je to procvičovací příklad, ale narýsujte ho hezky, čistě a pak všechno obtáhněte přesně podle těch pravidel. Pozastavit a rýsovat teď. Tak, pokud už to máte, tak to asi bylo jasné. Máte trojúhelník, takže byste si udělali nějaký rozbor. To je takový ten náčrtek, kde si naznačím, že mám ABC. Znám délky těch stran, tady mám šest, BC mám pět centimetrů a AC mám čtyři centimetry. Takže já si takhle mohu udělat rovnou tu výchozí přímku, na které bude ležet ta strana. Udělám si tady bod A a teď těch šest centimetrů můžu klidně naměřit pravítkem. Takže byste si odměřili šest centimetrů a udělali si tady vrchol B. A teď je důležité, jak sestrojit ten vrchol C. V žádném případě neodměřuji délku BC pravítkem. Ne, vy víte, že je potřeba si do kružítka naměřit tu vzdálenost, takže naměříte si těch pět centimetrů, uděláte si takhle pomocný oblouk. To je množina bodů, které jsou od B vzdálené pět centimetrů. Ale váš vrchol C musí být zároveň čtyři centimetry od A. Takže teď si naměříte čtyři, zapíchnete kružítko přesně do vrcholu A a získáte tady krásný průsečík. Ten průsečík označím C a zkonstruuji krásný trojúhelník. A teď ještě jenom k tomu obtahování. Obtáhnu všechno. A znovu zdůrazňuju, obtáhnu i tyhle ty pomocné čáry, co jsem dělal kružítkem. Musí být taky obtaženy. Proč? Aby bylo vidět, že jste právě ten vrchol C sestrojili průsečíkem těch čtvrtkružnic. Pokračujeme dál. Příklad tři. V rovině se nachází bod K, to je on, a polopřímka. O polopřímce jsme ještě nemluvili. Přímka jde od nekonečna do nekonečna, ale polopřímka, když mám polopřímku KY, tak to znamená, že začíná v K, jde skrz Y a pokračuje do nekonečna. Kdybych měl YK, začínala by v Y a šla by na druhou stranu. Jednoduché. Takže, co my víme? Bod K je vrcholem čtverce KLMN. Když si uděláme rozbor, ten čtverec bude mít vrcholy KLMN. Vrchol L leží na polopřímce KY. To znamená, když já tady mám K a tady je někde to Y, tak tady někde bude to L. Bod Z se nachází uvnitř strany MN. To znamená, že leží na té čáře. Co s tím? Sestroj chybějící vrcholy a čtverec narýsuj. Co víme o čtverci? Dvě věci. První, že všechny strany jsou stejně dlouhé. A druhá, že všechny ty úhly u vrcholů jsou pravé. To vám pro tuhle konstrukci bude stačit. My nevíme, kde bude to L zatím, ale dokážeme sestrojit základ strany KN, protože víme, že z K směrem k N to jde kolmo. Takže nic vám nebránilo dát váš trojúhelník tou ryskou na polopřímku a udělat kolmici. Do toho rýsování, do té čisté konstrukce se ty značky pro pravý úhel nepíšou. Takže jenom čáru. A teď vlastně my jsme si vytvořili základ téhle strany. A potřebujeme najít vrchol N. Jak ho najdeme? Víme, že ta strana MN je na ni kolmá a musí procházet bodem Z. To znamená, že jste si zase přiložili trojúhelník a nastavili si ho tak, aby procházel tím Z. Vytvořím si základ té strany a tady už mám vrchol N. Hurá! A co jsem tímhle získal? Našel jsem vrchol N a tím pádem jsem našel taky co? Délku strany toho čtverce. Důležitá věc. Někdy vidím, že si tady odměříte KN pravítkem, třeba tři a půl centimetru, a pak si to odměříte tady taky. To není dobře. Proč? Protože to není přesné. Tu vzdálenost my odměříme jak? Pomocí našeho přítele, kružítka. Kružítko píchnu do bodu K, naměřím si do N, a teď už vím, že stejně daleko to bude do L, takže šup, a stejně daleko to bude z N do M. Nebojte se tyhle čáry dělat větší, ať ten hodnotitel vidí, že jste to dělali kružítkem. A jedeme dál. A teď už vlastně můžu protnout tyhle dva průsečíky. Tak. K, L, M, N. Zkontroluji, bod Z se nachází uvnitř strany MN, to se nachází, mám hotovo. Teď to obtahování: všechno, všechno obtáhnu, co nebylo zadané, i ty oblouky kružítka. Zopakovali jsme si čtverec. Stejně dlouhé strany, pravé úhly ve vrcholech. Dvě úhlopříčky, které spojují protilehlé vrcholy, jsou stejně dlouhé a na sebe navzájem kolmé. Bomba. Co budeme sestrojovat dál? Příklad čtyři. Na přímce P máme najít bod E, který je zároveň vrcholem rovnoramenného trojúhelníku. Pojďme si říct, co znamená rovnoramenný trojúhelník. Má dvě stejně dlouhá ramena a té třetí straně se říká základna. Neplést si s rovnostranným, který má všechny tři strany stejně dlouhé. Tenhle trojúhelník EGF má mít základnu EG. Takže tady bude E, G a tady je vrchol F. Značíme většinou takhle proti směru hodinových ručiček. Zkuste to narýsovat. Tak asi už to máte. Určitě vám došlo, že znáte vzdálenost FG, to znamená znáte délku ramena. To druhé rameno do vrcholu E je stejně dlouhé. To znamená, vy jste tady jednoduše zabodli kružítko do F, naměřili si vzdálenost do G a udělali pomocnou kružnici. Ta vám protla přímku P, no a tam bude ležet bod E. A já už můžu sestrojit ten můj trojúhelník. Dále máme sestrojit přímku O, která prochází bodem F a je kolmá na tu základnu. No tak to jste určitě zvládli. Přiložili jste si trojúhelník a udělali kolmici. A označím přímku O. Pokud tohle mám takhle, v testu si to zkontroluji, popadnu propisku a všechno, i tady ten průsečík, tu práci s kružítkem, všechno, co není vytištěno, obtáhnu. Tak jo. Pokračujeme dál. Příklad pět. V rovině se nachází bod A, B a S. Sestroj polopřímku AB. Tak do toho. Tak já doufám, že už to máte. Takže vycházím z A, procházím B a udělám krásnou dlouhou polopřímku. Dále sestroj kružnici K se středem v bodě S, která prochází bodem B. Zabodnu do S, naměřím kružítkem do B a udělám kružnici K. Nezapomenu ji popsat. Další průsečík kružnice K s polopřímkou AB označ C. Takže tady vidíme ten další průsečík, označím C. Body B a C jsou dva ze čtyř vrcholů obdélníku. Všechny vrcholy obdélníku leží na kružnici. Vy víte, že střed obdélníku najdu tak, že když udělám dvě úhlopříčky, tak tam, kde se mi protnou, bude střed. Teď potřebujeme najít vrcholy A a D. Čeho využijeme? No, že vrcholy v obdélníku mají pravé úhly. To znamená, já na nic nečekám a sestrojuji tady kolmici z bodu B. A taky vím, že protilehlé strany jsou stejně dlouhé. Takže si odměřím stranu BC a přenesu ji kružítkem z bodu A. Získám průsečík a to je vrchol D. Spojím a mám hotovo. Obdélník ABCD. A platí, že jeho vrcholy leží na kružnici. Teď byste obtáhli zase všechno, i tu kružnici K. V rovině se nachází přímka P. Na ní leží bod B. Mimo ni se nachází bod C. Narýsuj úsečku BC. Co je to úsečka? Čára, která spojuje dva body přímo. Má začátek a konec. Na přímce P sestroj vrchol A pravoúhlého trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C. Když si udělám rozbor, tady u C musí být pravý úhel. Já mám stranu BC, to znamená ve vrcholu C udělám kolmici. Kde protne přímku P, tam je vrchol A. Sestroj chybějící vrchol D obdélníku ADBC. Udělám si rozbor. Mám trojúhelník ABC. Chybí mi bod D. Využiju toho, že vrcholové úhly jsou pravé. Z bodu B sestrojím kolmici a z bodu A taky. Kde se protnou, je bod D. Teď máme sestrojit vrchol E takového rovnostranného trojúhelníku ABE, aby vrchol C ležel uvnitř tohoto trojúhelníku. Rovnostranný trojúhelník má všechny tři strany stejně dlouhé. Já mám stranu AB. Takže odměřím AB, udělám pomocnou čtvrtkružnici z bodu A, pak z bodu B, a kde se protnou, tam je vrchol E. Spojím a zkontroluji, jestli C leží uvnitř. Leží. Takže mám hotovo. Vy to samozřejmě máte mnohem hezčí, přesné a obtažené propiskou. Výborně.