Komplexní opakování úloh (1)

Mám tady krásný příklad s trojúhelníkem, páťáci. Určitě jste si už přečetli zadání, ale než se do toho pustíme, tak si společně řekneme základní pravidla tohoto příkladu. Součet všech čísel v tomto trojúhelníku – tohoto, tohoto, co neznáme, tohoto, tohoto i tohoto – musí být kolik? Sto třicet. Takže to je první pravidlo, které musíte splnit. Takže součet všech čísel, která si dopíšete, bude přesně sto třicet. No a potom ještě musíte zařídit to, že součet čísel takhle po stranách toho trojúhelníku – takže to, to a to; to, to a to – bude stejný. A stejný také bude součet těchto tří čísel. Takže to jsou ta pravidla, která musíte splnit. Takže ještě jednou: součet dohromady sto třicet, součet čísel na téhle straně trojúhelníku je stejný jako součet téhle strany a součet téhle strany. Tak, to je výzva, to je dobrá výzva. Pusťte se do toho, zkuste to spočítat, za chvíli si to rozebereme společně. Takže, teď. Tak, už to asi máte. Doufám, že jste to všichni pokořili, tenhle tajemný magický trojúhelník. A zase, těch způsobů řešení je více. Je možné, že jste to řešili jinak, pokud jste to vyřešili a budete to mít dobře, bomba, chválím. Pokud jste třeba trošku nevěděli, co s tím, zkuste pokračovat se mnou, a jakmile vás to napadne, tak si to pozastavte a zkuste dořešit. Čím více uděláte sami, tím lépe. Tak, a my začneme. Důležité bylo vědět, že součet všech těch čísel v tom trojúhelníku je sto třicet. A my musíme doplnit tyhle tři čísla. To znamená, co my uděláme první? My si zjistíme, kolik už tam teď máme předepsáno. To znamená, váš první krok, asi logicky, byl to, že si napíšete... jste u přijímaček, máte tam tohleto zadání, máte čistý papír a napíšete si, hele, dvacet devět plus dvacet pět plus dvacet je kolik? Takže pět a devět je čtrnáct, jedna, tři, pět, sedm. Takže součet, co už máte, je sedmdesát čtyři. Celek má být sto třicet. To znamená, co vy uděláte? Sto třicet minus sedmdesát čtyři je kolik? Šest, osm a pět je třináct, jedna. Takže vy potřebujete doplnit padesát šest. Sem, sem a sem dohromady musíte nacpat padesát šest. Potud doufám jasno, že? Takže udělal jsem jenom to, že jsem si v prvním kroku zcela logicky zjistil, jaký musí být součet těchto tří čísel. A teď bude potřeba rozdělit těch padesát šest na ty tři čísla, tak, aby vlastně tady všude byl stejný součet. No, zase těch způsobů je víc, ale co já si řeknu? No, já se podívám na ty strany teďka, jak tady mám ty čísla. A řeknu si, kolik už tam teďka mám vlastně. Tak já to napíšu třeba tady červeně k tomu. Tak si sečteme ty strany. Dvacet devět a dvacet, takže tady už mám čtyřicet devět teďka. Dvacet a dvacet pět, tady mám čtyřicet pět na téhle straně. Tady mám dvacet devět a dvacet pět, takže to je co? Padesát čtyři, že? Takže tady mám padesát čtyři. Tak. A teďka vidíte, že já potřebuju těch padesát šest rozdělit tak, abych tyhle ty součty srovnal. Logicky se vás zeptám, do kterého kolečka přijde největší část z těch padesáti šesti? No sem, že jo. Tady je padesát čtyři, takže aby se to vyrovnalo, sem přijde nejmenší číslo. Tady je součet stran zatím největší, takže sem přijde doplnit nejmenší číslo. Když si řeknu, že to nejmenší číslo já neznám, tak už si podle něj dokážu vyjádřit ty ostatní čísla. Okolo kolik bude větší tohleto číslo? No, tohleto číslo bude větší, aby to bylo stejné, tak bude větší o pět. Souhlasíte? A tady to číslo, čtyřicet pět, to je o kolik menší než padesát čtyři? O devět, že jo? Takže tohleto číslo bude muset být větší o devět, aby byly stejné. No, a potom už vlastně máme tu naši úlohu, kterou jsme trénovali. Že my víme, že ten náš otazník, plus otazník plus pět (to je to druhé číslo), plus ještě to třetí, otazník plus devět, tak součet těch tří, já tam musím rozdělit kolik mezi nimi? No padesát šest. Právě. Toto je ta rovnice, už jsme to taky trénovali. To znamená, když si řeknete, kolik otazníků mám v těch padesáti šesti? No, tři otazníky. Takže já tam mám třikrát otazník, plus ještě nesmíme zapomenout, co mám k těm třem otazníkům. Pět a devět, takže čtrnáct. A to je padesát šest. Pamatujete si, že? A teď si řeknete, máme tu dopočítávací úlohu. Třikrát něco plus čtrnáct musí být padesát šest. Co jsme vždycky dělali? Řeknu si, co musí být to třikrát otazník. To znamená, padesát šest minus čtrnáct je kolik? To je čtyřicet dva. Souhlasíte? To znamená, třikrát otazník musí být čtyřicet dva. No, a teď už jsme skoro tam. Čtyřicet dva děleno třemi je kolik? Jedna, zbyde jedna, dvanáct, čtrnáct, nula. Tak. A je to vyřešeno, páťáci, že jo? To znamená, otazník je čtrnáct. A v tu chvíli už vím, že teda tady bude čtrnáct. Tady bude co? Čtrnáct plus pět, to znamená devatenáct. A tady bude čtrnáct plus devět, to znamená dvacet tři. A teď pokud jsme počítali dobře, tak bychom měli splnit ty zkoušky postupně. A tohle je důležitý. Já vím, že se vám do toho třeba nechce, do těch zkoušek, ale když jdu na další příklad, tak bych si rozhodně měl dát chvilku, že si teda řeknu, že to sečtu a musí to dát sto třicet. A potom ještě teda potřebuju si sečíst strany, a to asi zvládneme z hlavy. Dvacet plus devatenáct plus dvacet devět... hele, lepší si to takhle opravdu napsat pod sebe. Devět a devět, osmnáct, osm, tři, čtyři a dva je šest. Šedesát osm. Zkontrolujeme další stranu. Dvacet, dvacet tři a dvacet pět... pět a tři je osm, šest, šedesát osm, výborně. A ještě tuhle stranu. Dvacet devět, čtrnáct, dvacet pět. Devět a čtyři třináct, osmnáct. Tři, čtyři a dva je šest. Paráda. A mám hotovo. Hele, já nemůžu dostatečně zdůraznit tyhle zkoušky. Prosím vás. Znám spoustu případů, kteří pohořeli, protože počítali moc rychle a nekontrolovali si to. Není hanba si to takhle jako já napsat pod sebe. Tohle byl důležitý příklad. Proč? Protože typově je přijímačkový, je logický s tím, že musíte přijít na ten princip, jak to funguje, a obsahuje dopočítávání. Takže výborný příklad. V dalším příkladu máme bankomat. Všichni znáte, že do bankomatu přijdete, dáte kartu a vyberete si peníze. A tady v našem případě ten bankomat má v sobě jenom dvoustovky anebo pětistovky. No, a Tomáš si chce vybrat dva tisíce sedm set. A vaším úkolem je určit, v jakých kombinacích těchto dvou typů bankovek mohl těch dva tisíce sedm set obdržet. Tak, je to hezký příklad na zamyšlení. Určitě není problém najít jednu kombinaci, tu máte hned. Ale já potřebuju, abyste vymysleli způsob, jak s jistotou najdete všechny ty kombinace. To je ten váš úkol, takže se do toho pusťte. Teď. Tak. A pojďme na to. Jedna z těch možností, zase jak to řešit... není v matematice málo kdy nějaký jeden jediný postup. Důležité je, že se dostanete k tomu řešení. Páťáci, jedna z těch možností je, jak já bych třeba ten příklad řešil, je, že bych si řekl, hele, já mám dva tisíce sedm set. No, už od pohledu vidím, že nemohu mít jenom dvoustovky, protože to číslo není dělitelné dvě stě, a nemůžu mít jenom pětistovky, protože není dělitelné pět set. To je první úvaha. To znamená, budu muset mít kombinaci jak dvoustovek, tak pětistovek. Souhlas? Tak, z toho jsem vyšel. Rozhodně budu potřebovat třeba jednu pětistovku, nebo bych potřeboval dvě pětistovky, to znamená měl bych tisíc. Nebo bych měl tři pětistovky, to bych měl tisíc pět set. Nebo bych měl čtyři pětistovky, to bych měl dva tisíce, nebo bych měl pět pětistovek, to bych měl dva a půl tisíce. Dále nemá smysl pokračovat. Proč jsem začal pětistovkami? No, protože těch kombinací mám méně. A teď už si jenom řeknu, pokud bych si vybral pět set, kolik mi zbývá? Zbývá mi dva tisíce dvě stě. Jsem schopen ten zbytek doplnit těmi dvoustovkovými? Ano. Těch musí být jedenáct. Kdybych si vybral tisíc v pětistovkách, tak by mi zbylo kolik? Tisíc sedm set. Jsem schopen tisíc sedm set vydat v dvoustovkách? Že ne. To není dělitelné. Takže tahle kombinace tam rozhodně nebude. Tisíc pět set, zbývá mi kolik? Zbývá mi tisíc dvě stě. Jsem schopen tisíc dvě stě vydat v dvoustovkách? Jsem, že jo, budu mít šest dvoustovek. Dva tisíce, zbývá mi sedm set. Můžu sedm set udělat ve dvoustovkách? Nemůžu. Takže tohle to mi bankomat taky vydat nemohl. Dva a půl tisíce, zbývá mi dvoustovka, ano, udělal jsem jednu. To znamená, už vidíte, že máme řešení. Ty kombinace jsou vlastně jedna, dvě, tři. Takže když je zapíšeme, tak první je jedna krát pět set plus jedenáct krát dvě stě. Druhá je tři krát pět set plus šest krát dvě stě a třetí kombinace je, že mi bankomat mohl dát pět krát pět set plus jedna krát dvě stě. A tím jsme vyřešili ten příklad. Následující dva příklady jsou takové ty příklady dopočítávací. Určitě si je zkuste vyřešit nejdříve sami. Nečekejte na mě. Takže pozor teď. Takže už máte vyřešeno, doufám. Pojďme se podívat na tenhle první. Máme najít, co přijde sem do rámečku, aby to platilo. No, jak jsme se to učili? Já vidím, že tady vlastně ten podíl vydělený deseti musí být sedmnáct. Vy si řeknete, jaké číslo děleno deseti je sedmnáct? No, sto sedmdesát. A teď si řeknete, šest set osmdesát děleno něčím musí být sto sedmdesát. Jak spočítám to něco? No, pokud těch šest set osmdesát vydělíme sto sedmdesáti, což uděláme tak, že samozřejmě vydělíme šedesát osm sedmnácti. Škrtneme si tu nulu na konci. No a to se tam vejde čtyřikrát. To znamená, sem přijde čtyřka. To je všechno. Příklad čtyři, to dopočítávání. Za každým tím písmenem se skrývá nějaká číslice. Číslice N je stejná jako tady, jako tady, jako tady. Součet čtyř stejných číslic musí končit dvojkou. Jaká je ta možnost? Čtyři krát co končí dvojkou? Čtyři krát tři je dvanáct. Takže teoreticky by tady mohla být trojka. Čtyři krát osm je třicet dva. Osmička by tady taky mohla být. Ale já bych teďka chtěl ukázat, proč jste měli přijít na to, že ta osmička není to správné řešení. Vy byste si řekli, čtyři krát osm je třicet dva, to funguje. A znamenalo by to, že já musím tady přičíst trojku. A teď si řeknu, dobře, já mám tady zase dvojku. Mohli jste si říct, hele, kdyby to bylo dvanáct, plus tři je devět, takže tady by byla trojka, tady by byly tři trojky. Ale M a N mají být jiné číslice. Tak už to mi říká, že tam ty trojky nebudou. Dostanu se do situace, že to ze dvou stejných čísel nesložím. To znamená, osmička tady být nemůže. My tedy pokračujeme s trojkou. Čtyři krát tři je dvanáct, to mi pořád funguje, tady je ta dvojka, přičítáte jedničku a vidíte, že skládáte buď na jedenáct, to nechceme, nebo třeba na dvacet dva. Což by šlo, protože tady máme dvacet jedna. To znamená, tady by mohla být sedmička. Tři krát sedm je dvacet jedna a jedna je dvacet dva, to by šlo. A sem se mi převádí dvojka. Teď si řeknu dobře, tady mám dvojku. To znamená, mám možnost, že by tady byly nuly, to by šlo. A potom vlastně bych měl dva a k by musela být dva. To je jedna možnost. Nebo bych si mohl říct, že tohleto je dvanáct, to by šlo. A v tom případě bych tady měl co? Pětku. A v tom případě by se mi tady převáděl jeden řád a k by byla jednička. Tímhletím postupem jsem přišel na to, že ti z vás, kdo řekli, že K, L, M, N jsou buď první možnost dva, nula, sedm a tři, tak měli pravdu. A druhá možnost je jedna, pět, sedm, tři. V tomto příkladu s krajtou máme určit délku krajty. Její délka je ukrytá v tomto. To je něco, čemu říkáme nerovnice. My už jsme se seznámili se znaménky větší nebo menší. Tady si všimněte, že u toho znaménka je ta čárka, což je větší nebo rovno. To znamená, přidáváme si další znaménko, kde my vlastně kromě toho větší, můžeme mít větší nebo rovno. A pak už je to jednoduché. Vy se snažíte zjistit, jaká je tahleta hodnota a jaká je tato hodnota. Takže když si to spočítáme, dva krát sedm je čtrnáct, patnáct minus čtrnáct je jedna, plus jedna je dva. To znamená, můžeme to zapsat, že naše krajta musí být větší nebo rovna dvěma metrům, a zároveň je menší než šest minus dva jsou čtyři. Takže pokud si na číselné ose tady ukážeme délku naší krajty, tak si uděláme dvojku, trojku, čtyřku. Délka krajty, aby splnila tu podmínku. Je jednička větší nebo rovna dvojce? Ne. Je dvojka větší nebo rovna dvojce? Je. A je dvojka menší než čtyřka? Ano. Dvojka tam být mohla. Může mít krajta tři metry? Ano, je větší než dvojka a menší než čtyřka. Může mít krajta čtyři metry? Splnila by tuhle podmínku, ale už nesplnila tu horní podmínku, že čtyřka není menší než čtyři. To znamená, naše krajta má buď dva metry, nebo má tři metry. Příklad následující je ve svém zadání velice jednoduchý. Neznámé číslo zvětším o pětinu a dostanu tak číslo šedesát. Určit neznámé číslo. No hele, a co já vás chci naučit... nejlépe se neznámé číslo představuje nějakým obdélníčkem. Takže tohleto je pro nás neznámé číslo. Já nevím, kolik to číslo je, ale vím, že pokud k tomuhle neznámému číslu přičtu jeho jednu pětinu, tak dostanu šedesát. Ukážeme si dva způsoby řešení. Jeden grafický, který vás pak navede i na ten výpočet, je vlastně o tom, že já si tohleto neznámé číslo rozdělím na pětiny. Raz, dva, tři, čtyři, pět. A teďka když přidám ještě tu jednu pětinu navíc, tak já najednou vím, že tohleto celé je šedesát. No, už je to asi jasné. Těch šedesát se teďka skládá z šesti dílků. Jaká je velikost každého z těch dílků? Deset, že jo? To znamená, odpověď je padesát. Někteří jste si to ani nemuseli kreslit, protože vám došlo, že to neznámé číslo je vlastně pět pětin. Pokud já k těm pěti pětinám přičtu jednu pětinu, dostanu šest pětin. A pak tedy, když si řeknu, že to naše číslo šedesát je šest pětin, tak vím, že jedna pětina je šedesát děleno šesti, to znamená deset. A potom těch pět pětin spočítám jako deset krát pět, to znamená padesát. V tomto příkladu máte velký čtverec, máte určitý obvod, ale víte, že pokud bychom ho rozdělili na devět menších čtverců, tak obvod toho menšího by byl dvacet čtyři. Tak, to je všechno, co víme. Určitě neškodilo si do toho zadání načrtnout ty malé čtverce. Tady mám devět těch malých čtverců. Já vím, že obvod tohoto malého je dvacet čtyři centimetrů. A teď už to asi bylo jednoduché, ne? Protože vy jste si řekli, obvod čtverce se počítá jako čtyřikrát a. To znamená, dvacet čtyři se rovná čtyřikrát a, a z toho jste dostali, že a je šest centimetrů. Takže tady tahleta strana je šest, tahleta je taky šest, tahleta je taky šest. To znamená, my víme, že ta strana toho velkého je osmnáct. A pokud počítáme obvod toho velkého jako čtyři krát osmnáct, tak dostaneme sedmdesát dva centimetrů. Věřím, že tohle jste hravě vyřešili. Následující slovní úloha není jednoduchá, páťáci. Není. Ale kdo ji zdolá, tak určitě si zaslouží velkou pochvalu. Určitě pomůže, když se na to podíváte se mnou a třeba další den se k tomu vrátíte a zkusíte si to znovu. Chlapci na hřišti se chystají hrát fotbal. Z páté A přišlo na trénink o polovinu méně chlapců než z páté B. Trenér přidal čtyři chlapce z páté B k chlapcům z páté A, aby bylo v obou týmech stejně hráčů. Kolik hráčů bylo na hřišti? Někdy vás trošku trápí, že tam nemáte žádné pořádné číslo. No, ale ten klíč je v těch čtyřech chlapcích. Uděláme si to zase graficky. Máme pátou A a máme pátou B. My víme, že z páté A přišlo o polovinu méně než z páté B. Když tohle přišlo z páté B, tak jaký počet musel přijít z páté A? Přesně do poloviny. A teď na to trenér kouká a říká, hele, čtyři borci odsud, půjdete sem, aby vás bylo stejně. Co on musel udělat? No, on, ten přebytečný počet, těchto těch z páté B, on ho musel rozdělit na půlku. A tu půlku přidal sem. A tahle ta půlka jsou čtyři. Tohle to jsou ty čtyři, které on vzal. Každopádně vidíte, že co se stalo, je, že jich tam je teďka stejně. A jak jsem přišel na to, že ta druhá půlka musí být taky čtyři? No přece když tohleto byla ta polovina a tohleto tam zbylo navíc, tak je to ta druhá polovina. To znamená, my už víme, že těch žáků té páté B bylo celkem kolik? Když tady bylo čtyři a čtyři, tak tady bylo osm. A té páté B muselo být šestnáct na hřišti. A té páté A původně muselo být osm. Takže všech žáků muselo být celkem dvacet čtyři. A vidíte, že trenér to potom rozdělil na dvanáct tady a dvanáct tady. Pokračujeme dalším příkladem, kde si dáme jablka a hrušky. Máme v bedýnce zamíchaná jablka a hrušky. Jablek je o dvacet více než hrušek. Co my jsme teď udělali? Odsypali jsme čtvrtinu jablek a čtvrtinu hrušek. To znamená, že jsme vlastně odsypali jednu čtvrtinu ovoce. Souhlas? Jednu čtvrtinu všeho. To znamená, pokud jedna čtvrtina bedny rovná se dvacet pět kusů ovoce, tak kolik bylo celkem ovoce v bedně? No sto, že jo? Protože potom čtyři čtvrtiny bedny, celá bedna, je dvacet pět krát čtyři, to znamená sto kusů ovoce. To je to hlavní. To znamená, já už vím, že teďka tady mám sto kusů. A teďka my máme určit, kolik bylo v bedně hrušek. My víme, že jich je o dvacet méně než jablek. Jak my teď rozdělíme to sto? Tak my si řekneme, co kdyby tady těch jablíček a hruštiček bylo stejně? Tak by to bylo padesát a padesát. No, ale ono jich tam není stejně. Já potřebuji zařídit, že tady jich bude o dvacet víc. Tak já vezmu těch dvacet, rozdělím na poloviny, tu polovinu, deset, tady přičtu a tady odečtu. To znamená, mám šedesát a tady mám čtyřicet. Vidíte, že teďka součet je sto a mám tady o dvacet víc. Takže jsme odpověděli: kolik bylo jablíček? Šedesát. Kolik bylo hruštiček? Čtyřicet. Následující příklad si rozhodně vyzkoušejte. Máte doplnit číslice jedna, dva, tři, čtyři, pět, šest, sedm do rámečků tak, aby to platilo. Je to součet. Takže, myslím, že jste to všichni vyřešili. Pravděpodobně se lišíte v tom, jak rychle. První úvaha je, máte dvě dvouciferná čísla. Jaká největší číslice musí být tady? Jednička. To znamená, tady bude jednička, už to vím, škrtnu si. Teďka obecně platí, že když sčítám nějaká dvě čísla, tak dostanu větší číslo. Takže zcela logicky, když teď třeba začnu tady od konce, tak bych chtěl tady mít menší čísla. Tak když začnu zkoušet. Nula tady být nemůže. Dva, tři. No ale dva a tři mi dají pět. To by šlo. Dvojka, trojka, ty mi dají pětku. A teďka vlastně, co mi zbylo? Čtyřka a pětka mi dají devítku... ne, čtyřka a šestka. Čtyřka a šestka mi dají desítku. Takže z toho mi dojde, no já potřebuju tady čtyřku a tady šestku, nebo obráceně, a tady potom bude nula. A máte vyřešeno. Po nějakých dvou, třech pokusech jste se velice rychle museli dostat na tenhle ten výsledek. V příkladu jedenáct jsme se trošku vrátili zase k náplni těch předchozích lekcí. Hledáme osy souměrnosti. My víme, že ta osa souměrnosti je ta osa, podle které já můžu ten obrazec překlopit a on mi bude přesně pasovat na sebe. Takže u čtverce těch os souměrnosti bude asi víc. Rozhodně dokážu ten papír... jedna, druhá. Jsou tam ještě nějaké? No jasně, že jo. Ještě ho můžete přeložit takhle. A takhle. Obdélník. No, rozhodně můžu přeložit takhle a můžu přeložit takhle zase. Má ten trojúhelník nějakou osu souměrnosti? No jasně, má. Můžu ho přeložit takhle. Princip osy souměrnosti je, že když si v jakémkoliv místě uděláte kolmici, tak vzdálenost z tohoto bodu k ose musí být stejně daleko jako k tomu druhému. To už jsme všechno měli. Takže to bylo jako jednoduché opakování, určitě jste to zvládli.