Útvary, tělesa, úhly, úlohy (2)

Rychlá kontrola u příkladu dvanáct, který už jste si vyřešili určitě dávno přede mnou. Takže, jaký úhel svírají malá a velká ručička ve tři hodiny? Takže máme tři hodiny, že jo? Máme malou na trojku, velkou na dvanáctku. To znamená úhel, jaký svíráme, je kolik, páťáci? Devadesát. Jasně, devadesát stupňů. V šest hodin máme velkou na dvanáct, malou na šest. Úhel, jaký svíráme, ano, dvakrát devadesát, sto osmdesát stupňů. Tak jo, Bčko. Kolik stupňů má polovina pravého úhlu? Víme, že pravý úhel celý, znova si opakujeme, má kolik? Devadesát. Takže polovina, což je tohle, má čtyřicet pět stupňů. Výborně. Pokud sečteme dva pravé úhly, to znamená, sečteme devadesát a devadesát, tak dostaneme zase takzvaný úhel přímý a ten má sto osmdesát stupňů. Tak jo, to je takové opakování úhlů, ten základ, co byste měli vědět. Takže když jenom obecně o těch úhlech, tak je dobré vědět, že teda polovina z pravého je teda čtyřicet pět, to je dobrý vědět. Potom ten pravý, že je teda devadesát, ten pravý úhel. Potom přímý úhel je sto osmdesát stupňů. A teď ten kolem dokola je kolik tedy? Tři sta šedesát. Tři sta šedesát stupňů. To určitě všichni znáte, ale je dobré si to zopakovat. Tak jo. Zkontrolujeme si i další dva příklady. Takže máme vlastně čtverec a jeho úhlopříčky. Máme určit velikosti všech úhlů. Je to opakování toho, co jsem říkal před chvílí. Já si vezmu nějakou červenou třeba. Takže vrcholový úhel, tady ten celý, je pravý. Půlka je čtyřicet pět stupňů. Úhlopříčky svírají devadesát, tady je zase pravý. A to jsou vlastně všechny úhly, které tady máme. Jo, takže znova si pamatujeme, a měli jsme to i v té konstrukční geometrii. To je důležité: v obdélníku a čtverci jsou vrcholové úhly pravé. Ve čtverci jsou úhlopříčky stejně dlouhé a jsou na sebe kolmé. Polovina pravého úhlu je čtyřicet pět. Tak, vrhneme se na další příklad. Přesný počet trojúhelníků na obrázku. To je těžký příklad, ten jde vždycky lépe vám než mně. Já se tady zkusím ty trojúhelníky najít. Tak, rozhodně vidím tady tenhle velký, tak si ho udělám červeně. Nejlépe tohle jde s pastelkami, jo? Takže mám jeden. To je ten červený. Tak. Určitě vidím další trojúhelník, takhle, tady takhle modrý, že jo? Modrý, tak. Takže modrý. Asi nebudu mít dost barviček. No, tak. Tady určitě vidím zase další, jo? Tento ještě takhle, tenhle hlavní. Tak, takže mám zelený. Všimněte si, že jdu jako odshora k těm menším a menším. Takže mám tři teďka. A teď to zkusím třeba jako čárkovanou. Takže teďka vidím další trojúhelník, tady tenhle ten menší. Takhle, jo, tenhle ten menší. A pokud na nějaký zapomenu, tak se vám omlouvám. Tak, čtvrtý. Zkusím čárkovaně třeba zelenou. Tady vidím takhle pátý. Tady vidím takhle šestý, tak udělám třeba tečkovanou červenou. Raz, dva, takhle tečkovanou, tak. No a teď jsem zapomněl. Určitě si říkáte, no přece on zapomněl, já už tady nevím, jakou barvou bych to udělal. Udělám to modrou, jo. Tady úplně jsem zapomněl na další, takže hele, takhle, jo, takhle. Tohle jsou jako docela náročné příklady, takhle to v tom najít. Takže máme další, takhle. No a vidím další, že jo? Což je tenhle. Takhle. Tenhle ten. Nevím, jestli se v tom ještě vyznáte. Takže teď už snad, teď už snad jsem na žádný nezapomněl. Teda doufám. Jo? Ale že bych si byl stoprocentně jistý, to nejsem. Chtělo by to víc barviček. Raz, dva, tři, čtyři, pět, šest, sedm, osm. Já jsem jich teda našel osm tady. Tak doufám, že je to dobře. Tady se přiznám, že si nejsem úplně jistý, jestli jsem nějaký nepřehlédl. Tak, rozhodně vy se tomu doma pověnujte a vemte si na to pastelky. Příklad patnáct. Jana vystřihla z barevného papíru dva stejné čtverce. Takže, páťáci, vy jste si představili. Hele, mám dva čtverce. Jsou stejné, z nějakého barevného papíru. Strana těch čtverců je čtyři centimetry a čtyři centimetry. Tak, co Jana udělala? Jana tyto dva čtverce nalepila přes sebe, takže tvoří obdélník. Jak z těch čtverců, abyste je nalepili přes sebe, uděláte obdélník, to vymyslíte. A obsah části toho obdélníku, která se skládá z těch dvou přelepených, je čtyři centimetry čtverečné. Máte určit, jaký je obvod toho nového obdélníku a obsah. Takže zkuste si to představit. Určitě si můžete vzít dva čtverečky papíru, čtyři na čtyři centimetry, a vyřešit to. Takže teď. Tak. A my se podíváme na řešení. No, když máte dva čtverce papíru, páťáci, tyhle dva, no jak jste je mohli přelepit, aby z nich byl obdélník? No jedině tak, že vezmu ten jeden a ten druhý takhle přes něj přelepím. Že takhle přes něj přelepím ten druhý. Tak. Tady vlastně oni jsou přelepeny přes sebe. A teď mám obdélník. A já vím, že tahle ta přelepená část, to, co jsem tady vyšrafoval, obsah téhle přelepené plochy je čtyři centimetry čtverečné. Tak, a z toho jste měli určit obsah a obvod obdélníku. Tak, co platí? No určitě platí, že ty čtverce, když je to čtverec, tak má i tuhle tu stranu čtyři centimetry. A když obsah téhleté plochy je čtyři centimetry a tady to jsou čtyři centimetry, kolik je tahleta délka tady? Všichni víte, že obsah nějakého obdélníku, když si tady představíme tenhle maličký, tak jak ho spočítám? No je to nějaké a krát nějaké b. Když to moje b je čtyři a ten obsah je čtyři, tak co platí? Čtyři rovná se nějaké a krát čtyři. Takže kolik musí být tahleta šířka toho? No jeden, že? Protože jedna krát čtyři jsou čtyři. To znamená, že vy vlastně víte, že jsme ten čtverec o straně čtyři centimetry přelepili tak, že tady máme překryv jeden centimetr. To znamená, tady nám zbývají kolik? Tři. To znamená, vlastně ten náš obdélník, když bych ho ještě jednou nakreslil jednodušeji, tak má tady stranu čtyři a tady je složený ze strany čtyři a ze tří centimetrů. Takže má sedm. Vzorec na obvod obdélníku je jaký? Dvakrát (a plus b). To znamená dvakrát (sedm plus čtyři), takže je to dvacet dva centimetrů, takový je obvod. A obsah, je a krát b, což je čtyři krát sedm, tedy dvacet osm centimetrů a čtverečných. My už jsme si vysvětlovali, že ta dvojčička znamená čtverečný, protože je to obsah, který vznikl vynásobením dvou stran toho obrazce. Proto je tam ta dvojčička. Takže správná odpověď dvacet dva a dvacet osm. Tak jo, já myslím, že to bylo úplně jasné. V tomto příkladu máme obrazec, takový křížek, a on se skládá z pěti čtverců. My víme, že obsah celého toho obrazce je osmdesát centimetrů čtverečních. A máme určit jeho obvod. Zase trénujeme, že nepleteme si obsah a obvod. Víme, že obsah je vlastně ta plocha dohromady a obvod je vlastně délka tady těch stran, kdybych šel takhle kolem dokola. Tak, takže zkuste to všichni vyřešit teď. Tak, pustili jste si to a jdeme na to. Takže, když obsah je osmdesát a já se potřebuji dostat k obvodu, co potřebuji vědět, abych spočítal obvod? No, potřebuji vědět, jaká je délka té strany toho čtverce, že jo? Jakmile budu vědět tohle to, tak mám vyhráno, protože já vím, kolik je tam těch stran. Tak si je spočítám. Jedna, dvě, tři, čtyři, pět, šest, sedm, osm, devět, deset, jedenáct, dvanáct. Takže obvod bude dvanáctkrát délka té strany. Takže když si tu stranu toho čtverce nazvu a, tak rozhodně můžu napsat, že obvod teda bude dvanáctkrát to a. A teď to a. Dokážete spočítat tu stranu toho čtverce? Že ano, dokážete? No jak? No já se nejdřív potřebuju dostat z obsahu toho celého na obsah jednoho toho čtverce. Jak to udělám? Když mám celkový ten obsah, tak ten je osmdesát, tak obsah jednoho čtverce bude teda celkový obsah děleno čím? Pěti, že jo? Raz, dva, tři, čtyři, pět. Protože se skládá z pěti čtverců. To znamená, když to vydělím pěti, což je osmdesát děleno pěti, tak pojďme, jednou, zbyde třicet, šest. Takže obsah jednoho čtverce je šestnáct centimetrů čtverečných. Takže jeden ten čtverec má šestnáct centimetrů čtverečných. A teďka, jakou má tu stranu a, když jeho obsah je šestnáct? No, platí, že obsah toho čtverce spočítám jako a krát a. Souhlasíte? Takže teďka vlastně počítáme, co krát co, jaké stejné číslo krát jaké stejné číslo je šestnáct. No jasně, čtyři krát čtyři, že? Takže jsme se dostali k tomu, že a je čtyři. No, a máme určit obvod, takže já už tady budu pokračovat. Obvod je teda dvanáct krát čtyři, to znamená čtyřicet osm centimetrů. A máme to spočítáno. Příklad sedmnáct je za odměnu. Já ho tady v kurzu dávám, když jsou studenti hodní, tak dostanou potom za odměnu příklad sedmnáct. Jde o to, že vlastně máte ty ulice jako čtvercovou síť. V New Yorku, kdo byl, tak ví, že ty ulice jsou na sebe kolmé. A vy tady máte někde tu banku. A teď máte instrukce. A teď pokud se třeba říká, jedu dva kilometry na sever, máte někde tu růžici, tady víte, že je sever, jih, západ a východ, tak pokud máte jet dva kilometry na sever a víte, že jeden ten čtvereček je jeden kilometr, tak jedete jeden, dva na sever a jste tady. Pak máte jet šest kilometrů na východ a teď pojedete zase raz, dva a tak dále na východ. A takhle pojedete. Vyjedete z té banky a uvidíte, kam dojedete. Je to opravdu taková zábavná hra, ale jde o to naučit se pohybovat v té síti a neudělat chybu. Tak jo, zkontrolujte si to ve výsledcích. V tomto příkladu máme nějakou čtvercovou síť zase a v ní máme obrazec. A my máme určit, jakou část téhle celé plochy zabírá ten obrazec. Tohle je velmi důležitý příklad, páťáci, jo? Už jsme se to všechno učili. Měli byste vědět, jak na to. Takže si to zkusit zastavit, popřemýšlet a vyřešit. Tohle je typový příklad. Bude se vám to k přijímačkám hodit. Tak to nepodceňte. Tak, už to asi máte, pojďme se na to podívat. Takže otázka je, jakou část plochy. První si musíte říct, jak bude vypadat odpověď. Ta odpověď bude ve tvaru zlomku. Dole bude teda co? Celek. Jaký je ten celek? Kolik čtverců je ten celek? Raz, dva, tři, čtyři. Raz, dva, tři. To znamená, celek je dvanáct. A teď vy potřebujete určit, z kolika čtverců se skládá tenhle obrazec. No, a co jsem vám říkal vždycky? No jasně. Když ten obrazec nebude pravoúhlý trojúhelník, čtverec nebo obdélník, tak ho spočítáte tak, že od toho celku, který je obdélník, odečtete ty pravoúhlé trojúhelníky kolem. Přesně tak. Takže tady máme jeden, který budeme odečítat. Tady máme druhý, který budeme odečítat. A vy, kdo to nemá a teď to dělá se mnou, tak si to zastaví a určí, z kolika čtverců se skládají všechny ty trojúhelníky, které jsem tady vlastně vyšrafoval barevně. Takže plocha našeho obrazce bude celek mínus zelený trojúhelník mínus červený trojúhelník mínus ty modré trojúhelníky. Dává smysl? Tohle je důležité. Pamatujte si to. Nesnažím se sečíst kostičky v tom obrazci, to je fakt špatně. Odečítám to od toho celku. Tak pojďme. Takže celek jsme si řekli, že je dvanáct. Mínus. Z kolika kostiček se skládá ten zelený? Čtverec by byl dva krát dva, takže čtyři. A ten náš zelený tedy bude dva. Takže minus dva. Co ten červený? Ten obdélník kolem by byl dva krát tři, to je šest, ale náš trojúhelník je půlka, to znamená tři. Takže minus tři. No a ty dva modré dohromady, to je jednoduchý, že jo? Ten a ten, jsou dohromady jedna kostička. To znamená minus jedna. No a už to máme, to znamená dvanáct minus šest je šest. Takže ten náš obrazec má plochu šest. Odpověď je šest dvanáctin a my už umíme ten zlomek, že ano, my ho umíme zkrátit. A šest dvanáctin umíme zkrátit na co? Na jednu polovinu. Správně. To znamená, ten náš obrazec tvoří jednu polovinu toho celku. Tak, kdo jste se pustil do následujícího příkladu, zjistil jste, že máte vybarvit pět osmin této pyramidy. Takže pět osmin. Tak, no, první, co byste měli udělat, je co? Že si zjistíte, z kolika dílků se skládá ta pyramida celkem. Souhlasíte? Z kolika dílků? Z šestnácti, jasně. Tahle pyramida má šestnáct dílků celkem. A vy máte vyznačit pět osmin. My jsme si před chvílí říkali, že tady dole ve jmenovateli je celek. Já mám vyznačit pět osmin, ale můj celek má šestnáct dílků. Co jsme se učili o zlomcích? Že můžeme zlomky krátit, ale můžeme je takzvaně i rozšiřovat. To znamená, já můžu nejen z šesti dvanáctin jít na jednu polovinu, ale mohu zase z jedné poloviny jít zpátky na šest dvanáctin. Pořád ten každý z těch zlomků má hodnotu jedné poloviny. Jsou to stejné zlomky. A teď, když se zamyslíte se stejnou logikou, tak vy máte vlastně ten celek dole šestnáct. A vy chcete vybarvit pět osmin. Kolik dílků musíte vybarvit, když váš celek není osm, ale šestnáct? Deset, že jo? Správně. Protože všichni rozumíte tomu, že deset šestnáctin je stejné jako pět osmin. To znamená, pokud chci v celku, který má šestnáct dílů, vyznačit pět osmin, tak musím vyznačit deset dílků z těch šestnácti. Takže třeba jedna, dva, tři, čtyři, pět, šest, sedm, osm, devět, deset. Teď jsem vyznačil deset dílků z šestnácti, což je to samé jako pět osmin. Tak, tento příklad je takový příklad logický, na logickou úvahu. Je tam poměrně málo počítání, ale jde o to se zamyslet, jak to vlastně funguje. Takže určitě to každý zkuste a vrhneme se do toho za chviličku společně. Tak jo, my máme váhu a vy si umíte představit, když položím něco na váhu, váha by měla ukázat správnou hmotnost. No ale ten kupec šidí. To znamená, když já vlastně si budu kupovat brambory, tak tohle je správná hmotnost, ale ta váha, protože šidí, tak přidá ještě tohleto, to je to šizení. A teďka, když teda prvnímu kupujícímu váha ukazovala třicet, tak tohleto je těch třicet. To je to šizení plus ty brambory. Druhému kupujícímu ukazovala váha dvacet osm. Ta váha vždy ukazuje více o stejnou hmotnost. Takže to šizení je stejně velké. A tady jsou brambory toho druhého kupujícího a celé mu váha ukazovala dvacet osm kilo. A teď jde o to, že pokud bychom na váhu položili brambory toho prvního i druhého, tak nám bude ukazovat váha padesát šest. A jde o to, kolik je skutečná hmotnost brambor prvního kupujícího. No, co my potřebujeme rozumět? Že když my si představíme tyhle dvě vážení dohromady, tak v těch dvou váženích, které šly zvlášť, tak celkově se prodalo jakoby za padesát osm kilogramů. Ale v těch padesáti osmi jsou dvě šizení. A teď se říká, že kdybychom my položili brambory prvního i druhého kupujícího na váhu najednou, tak ta váha vždycky přidává to šizení jenom jednou. Takže teďka já vím, že v tomto případě je jenom jedno šizení a váha ukazuje padesát šest. To znamená, to jedno šizení je vlastně padesát osm minus padesát šest, takže dva kilogramy. Zjistili jsme, že ten kupec si přidává tajně tím šizením dva kilogramy. Ještě jednou to zkusím vysvětlit. Když jsem vážil zvlášť první pytel brambor a váha k tomu přidala šizení, tak to bylo třicet. Když jsem vážil zvlášť druhý pytel brambor a váha taky přidala šizení, tak to bylo dvacet osm. To znamená dva pytle plus dvě šizení je padesát osm. Kdybych tam teď ty pytle dal najednou, tak ta váha přidá jedno šizení a je tam padesát šest. Rozdíl mezi těmito dvěma situacemi je jenom v tom, že tady je o jedno šizení navíc. To znamená, to jedno šizení jsou dva kilogramy. To znamená, první kupující, když tady to jsou dva, tak první kupující si odnesl dvacet osm kilogramů brambor. A to je všechno. Tak, máme tady další takový logicko-prostorově představivostní příklad. Je velice užitečný. Není úplně jednoduchý, ale zkuste se s ním potrápit. Doporučuji. Pro tu představivost je výborný. Klidně si udělejte těch dvacet čtyři kartiček a zkuste si z nich skládat ty obdélníky. Opravdu, když vám to třeba nepůjde vypočítat, tak si to nejdřív zkuste vyřešit na papíře. Jak vlastně můžu z těch kartiček vytvořit obdélník? První by mohl být, že já ty kartičky takhle začnu skládat za sebe. To znamená, že budu mít jednu tady a takhle tady budu mít dvacet čtyři kartiček. Druhá možnost, určitě někoho napadla, že by si takhle dával vždycky dvojice. To znamená, tady by měl dva a protože jich má dvacet čtyři, tak tady by jich bylo kolik? Dvanáct. Co ještě můžu udělat? Mohl jsem si dát ty kartičky po třech. Tři krát osm je dvacet čtyři. Nebo jsem si mohl dát čtyři ty kartičky a tam bych měl šest sloupečků. Žádnou jinou kombinaci, abych využil všechny a byl z toho obdélník, už neudělám. Otázka byla, jaký bude obvod obdélníku s nejmenším obvodem. Obvod pro jedna krát dvacet čtyři by byl padesát. Pro dva krát dvanáct je dvacet osm. Pro tři krát osm je dvacet dva. A pro čtyři krát šest je dvacet. Vidíte, že se nám ten obvod pořád zkracuje. Takže nejmenší obvod má obdélník čtyři krát šest, obvod je dvacet. A otázka byla, kolik centimetrů bude obvod. Z toho teda plyne dvacet krát ta strana je čtyři, to znamená, kdo jste odpověděl osmdesát centimetrů, tak chválím. A nejvíc znova opakuju, chválím ty, kdo nevěděli, vystříhali si to z papíru a pak jim to došlo. To je největší bomba. No a v tomhle příkladu máme kopáče. Už jsme podobný příklad měli. A kdo teď neví moc, co s tím, tak se zamyslí a zkusí si vzpomenout na něco, co jsem říkal o natěračích, o zednících. Tak, a teď si to napíšeme. Takže máme pět kopáčů, trvalo by jim vykopat tu jámu deset dní. Otázka je, za kolik dní by tu jámu vykopali pouze dva kopáči? Tak, co s tím? No, tady teď si uvědomíme to, co jsem říkal o těch zednících. Čím víc tam těch pracovníků bude, tím kratší dobu mi ta stejná práce bude trvat. A naopak, čím méně jich tam bude, tím delší dobu mi to bude trvat. Představte si, že budete dva se sestrou malovat si pokojíček. Když každý začne na jedné straně, tak na konci dne se sejdete v půlce a máte vymalováno. No ale když budete stejný pokojíček malovat sami, no tak na konci toho dne vy budete přesně zase v té půlce. Ale ta druhá půlka je pořád nevymalovaná. To znamená, vás čeká další, druhý den malování. Už vidíte, že jste sám, je vás o polovinu méně, takže to budete dělat dvakrát delší čas. Tak, no a z toho plyne tohleto. Tady je ten trik, co vás chci naučit. Většinou to nejlépe lze počítat přes jednoho kopáče nebo jednoho malíře. To znamená, když pět kopáčů to dělá deset dní, tak jeden kopáč to bude dělat jak dlouho? Nebude to dělat dva dny. Ne, jo, už zase slyším. Ne dva dny. On to bude dělat pětkrát déle. Mám pětkrát méně těch pracovníků, to znamená, bude to pětkrát deset. To znamená padesát dní. Ten jeden by to dělal padesát dní. A teď to přepočítám na ty dva kopáče. Když je jich dva, tak se dohrabou k prostředku za padesát děleno dvěma, za dvacet pět dní. No a je to všechno vyřešeno. Takže tady jsme si zopakovali typickou nepřímou úměru. Čím méně těch kopáčů já mám, tím delší čas mi to trvá. Nezapomeňte na to. Je to jedna z nejčastějších chyb. Takže, páťáci, závěr jako obyčejně. Já vás hlavně co? Hlavně vás chválím. Dobrá práce. Tahle lekce nebyla jednoduchá, obsahovala jak takové logičtější úlohy, tak hlavně jsme se soustředili... my jsme v těch minulých lekcích hodně rýsovali, už známe takové ty obrazce, teď jsme se soustředili na takovéto počítání s těmi obrazci, že jo. Zopakovali jsme si taky úhly, obvody, obsahy, jak vlastně vypočítat, jakou část nějaký obrazec něčeho zabírá, že jo, to jsme měli, a zápis, kolmost, rovnoběžnost jsme si zopakovali a slovní úlohy. Takže dobrá práce, ještě jednou. Chválím, zdravím rodiče, pokud jste se taky dívali, a budu se těšit u dalších lekcí. Mějte se fajn a zatím nashledanou.